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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Do 24.04.2008 | | Autor: | Limone81 |
| Aufgabe | Bestimmen sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die 1. Ableitung an der Stelle a=4 der Funktion
f(x)= 2
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x - 1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich komme in dieser Aufgabe nicht weiter. Wenn ich mit der h-Methode die 1. Ableitung herleiten möchte bekomme ich immer das Endergebniss
-2h²
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9 - 3h raus, also lim (h--> 0) = 0/9 = 0
Für eine Probe, ob das stimmt habe ich f(x) schon mit Hilfe der Quotientenregel abgeleitet und erhalte f'(4)= -2/9, also ist doch oben quasi nur das h² zuviel oder?
Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen, ich komm einfach nicht auf die richtige Ableitung mit der h-Methode!
Vielen Dank im Vorraus!
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Hallo Limone,
dann hast du dich irgendwo verrechnet 
Ich mache die Rechnung mal direkt für ein allgemeines [mm] $a\neq [/mm] 1$:
Zu berechnen ist [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, [/mm] wobei hier [mm] $f(x)=\frac{2}{x-1}$ [/mm] ist
Also setzen wir das ein:
[mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{2}{(a+h)-1}-\frac{2}{a-1}}{h}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left(\frac{2}{(a+h)-1}-\frac{2}{a-1}\right)$
[/mm]
um nicht diesen ollen Doppelbruch schreiben zu müssen.
Nun machen wir die Brüche gleichnamig
[mm] $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left(\frac{2\cdot{}\blue{(a-1)}}{(a+h-1)\blue{(a-1)}}-\frac{2\blue{(a+h-1)}}{(a+h-1)\blue{(a-1)}}\right)$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left(\frac{2(a-1)-2(a+h-1)}{(a+h-1)(a-1)}\right)$
[/mm]
Nun den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen..
[mm] $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left(\frac{2a-2-2a-2h+2}{(a+h-1)(a-1)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{\red{h}}\cdot{}\left(\frac{-2\red{h}}{(a+h-1)(a-1)}\right)$
[/mm]
Nun kann man ein [mm] $\red{h}$ [/mm] rauskürzen..
[mm] $=\lim\limits_{h\to 0}\frac{-2}{(a+h-1)(a-1)}$
[/mm]
Hier kann man "gefahrlos" [mm] $h\to [/mm] 0$ laufen lassen und bekommt
[mm] $=-\frac{2}{(a+0-1)(a-1)}=-\frac{2}{(a-1)^2}$
[/mm]
Probiere nun mal daran, die Rechnung mit deinem speziellen $a=4$ nachzuvollziehen bzw. durchzuführen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 24.04.2008 | | Autor: | Limone81 |
Hey ich danke dir ganz herzlich ich habe mich tatsächlich immer wieder an der selben stelle verrechnet und den fehler selbst nach dem 3. mal nicht erkannt  ))
Also vielen dank nochmal
Lieben Gruß Limone81
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