Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Sa 01.08.2009 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | hallo
ich soll die Diffenrenzierbarkeit von f(x)=|x²-1| überprüfen und die punkte angeben, an denen diese nicht diffenrenzierbar sind. |
Für die differenzierbarkeit überprüfe ich ob der grenzwert existiert, dh ich muss nachschauen ob der linkseitiger grenzweirt= rechtseitiger grenzwert ist.
dazu habe ich die funktion aufgeteilt(fallunterscheidung wegen betrag)
[mm] {f_{1}(x)}= x^2-1 [/mm] für [mm] x\in{(0,\infty)}
[/mm]
[mm] {f_{2}(x)}=1-x^2 [/mm] für [mm] x\in{(-\infty,0)}
[/mm]
so jetzt einsetzen
rechts:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^2-1-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\0}x-\bruch{1}{x}=0
[/mm]
links:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{1-x^2-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{1}{x}-x=0
[/mm]
dh jetzt weil beide limiten übereinstimmen dass f(x) in null differenzierbar ist oder ist das falsch da der [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{1}{x} [/mm] für 0 gegen [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] geht??
wie mache ich das bei 1 und -1 und wie kriege ich die punkte raus in denen die funktion nicht diffbar ist??
die aufgabe scheint mir einfach zu sein aber ich komme nicht auf die lösung :( hab glaub ich irgenwo einen denkfehler
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> hallo
hallo!
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> ich soll die Diffenrenzierbarkeit von f(x)=|x²-1|
> überprüfen und die punkte angeben, an denen diese nicht
> diffenrenzierbar sind.
> Für die differenzierbarkeit überprüfe ich ob der
> grenzwert existiert, dh ich muss nachschauen ob der
> linkseitiger grenzweirt= rechtseitiger grenzwert ist.
> dazu habe ich die funktion aufgeteilt(fallunterscheidung
> wegen betrag)
> [mm]{f_{1}(x)}= x^2-1[/mm] für [mm]x\in{(0,\infty)}[/mm]
> [mm]{f_{2}(x)}=1-x^2[/mm] für [mm]x\in{(-\infty,0)}[/mm]
schon falsch.. man schaut doch ob 1. fall [mm] x^2-1\ge [/mm] 0 [mm] \gdw x^2\ge [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] -1 [mm] \vee [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
2. fall [mm] x^2-1 [/mm] < 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] < 1 [mm] \gdw [/mm] -1 < x < 1
differenzierbarkeit ist bei dieser funktion nur fraglich bei punkten, in denen man |0| rechnet, also [mm] x^2-1=0 \gdw x^2 [/mm] =1 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 1
also dort nun prüfen
>
> so jetzt einsetzen
>
> rechts:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x^2-1-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\0}x-\bruch{1}{x}=0[/mm]
>
> links:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{1-x^2-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{1}{x}-x=0[/mm]
>
wo kommt denn der nenner her?
> dh jetzt weil beide limiten übereinstimmen dass f(x) in
> null differenzierbar ist oder ist das falsch da der
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{1}{x}[/mm] für 0 gegen [mm]\infty[/mm]
wird eher [mm] \pm\infty [/mm] sein
wenn links- und rechtsseitiger grenzwert von [mm] f(x_0) [/mm] übereinstimmen und [mm] f(x_0) [/mm] existiert, dann ist die funktion stetig
wenn links- und rechtsseitiger grenzwert von [mm] f'(x_0) [/mm] übereinstimmen und obiges, dann auch differenzierbar!
> bzw. [mm]-\infty[/mm] geht??
> wie mache ich das bei 1 und -1 und wie kriege ich die
> punkte raus in denen die funktion nicht diffbar ist??
siehe oben
>
> die aufgabe scheint mir einfach zu sein aber ich komme
> nicht auf die lösung :( hab glaub ich irgenwo einen
> denkfehler
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 01.08.2009 | | Autor: | can19 |
ahh t ;)
so dann sieht das alles wie folgt aus:
1.fall für [mm] |x^2-1|>1
[/mm]
[mm] \bruch{|x^2-1|-0}{x-1}=\bruch{|x^2-1|}{x-1}=x+1
[/mm]
2.fall [mm] |x^2-1|<1
[/mm]
[mm] \bruch{|x^2-1|-0}{x-1}=\bruch{-(x^2-1)}{x-1}=-x-1
[/mm]
jetzt den limes bilden auf beider seite von rechts und links bilden, dann ergibt sich
[mm] 2\not=-2 [/mm] --> funktion ist in 1 und -1 nicht diffbar.
so müsste das stimmen oder?
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> ahh t ;)
> so dann sieht das alles wie folgt aus:
> 1.fall für [mm]|x^2-1|>1[/mm]
> [mm]\bruch{|x^2-1|-0}{x-1}=\bruch{|x^2-1|}{x-1}=x+1[/mm]
>
> 2.fall [mm]|x^2-1|<1[/mm]
> [mm]\bruch{|x^2-1|-0}{x-1}=\bruch{-(x^2-1)}{x-1}=-x-1[/mm]
irgendwie komm ich nicht darauf, was diese rechnungen bewirken?!
>
> jetzt den limes bilden auf beider seite von rechts und
> links bilden, dann ergibt sich
> [mm]2\not=-2[/mm] --> funktion ist in 1 und -1 nicht diffbar.
> so müsste das stimmen oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 01.08.2009 | | Autor: | can19 |
das ist die rechnung für die bildung des grenzwertes
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a}\bruch{{f(x) } - {f(a)}}{x-a}
[/mm]
jetzt hätte ich noch eine frage die funktion |sinx| ist in 0 nicht diffbar wohingegen die funktion sinx an jeder stelle diffbar ist. das liegt doch am betrag, weil dadurch der grenzwert von links nicht mit dem grenzwert von rechts übereinstimmt oder??
lg
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> das ist die rechnung für die bildung des grenzwertes
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}\bruch{{f(x) } - {f(a)}}{x-a}[/mm]
>
sieht mir eher nach zwischenwertsatz aus, bekannt kommt mir das aber grade gar nicht vor? evtl brauch ich noch ne mütze schlaf..
> jetzt hätte ich noch eine frage die funktion |sinx| ist in
> 0 nicht diffbar wohingegen die funktion sinx an jeder
> stelle diffbar ist. das liegt doch am betrag, weil dadurch
> der grenzwert von links nicht mit dem grenzwert von rechts
> übereinstimmt oder??
nicht nur bei 0 ist |sin(x)| nicht diffbar, sondern wo sin(x)=0 ist, und das ist bei [mm] k*\pi [/mm] der fall!
nimm einfach die funktion aus dem ersten post. ohne betrag würde der graph mit steigung -2 im punkt (-1/0) durch die x-achse gehen. durch den betrag wird alles was unterhalb der x-achse liegt nach oben gespiegelt, ergo geht der graph dann mit steigung -2 in den punkt (-1/0) herein, und wegen der spiegelung mit der steigung 2 wieder heraus. es handelt sich also dort um einen knick und ist deswegen nicht diffbar. selbiges bei den nullstellen des sinus bei |sin(x)|
>
> lg
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