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Differntia-/Integration: Riemannlemma
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:01 Sa 05.03.2005
Autor: Fibonacchi

[mm] f:[a;b]\to\IR [/mm] sei stetig diffbar, [mm] n\in\IR. [/mm]

[mm] F(n):=\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f(x))dx}=[\bruch{-sin(nx)f(x)}{n}]^{b}_{a}+\bruch{1}{n}\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx} [/mm]
[mm] Stetigkeit:\Rightarrow \exists\varepsilon\in\IR^{\ge0}\Rightarrow\forall [/mm] x  [mm] \in[a;b]:|f(x)|\le\varepsilon\wedge |f'(x)|\le\varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow F(n)=\bruch{1}{n}(sin(an)f(a)-sin(bn)f(bn)+\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx}) \le|F(x)|=|\bruch{1}{n}(sin(an)f(a)-sin(bn)f(bn)+\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx})|\le\bruch{1}{|n|}(|sin(an)f(a)|+|sin(bn)f(bn)|+|\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx}|) [/mm]
[mm] \le\bruch{1}{|n|}(|f(a)|+|f(b)|+|\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}|\le\bruch{1}{|n|}(2\varepsilon+ \integral_{a}^{b}{\varepsilondx})=\bruch{\varepsilon}{|n|}(2+a-b) [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{|n|\rightarrow\infty}(F(n))=\limes_{|n|\rightarrow\infty}(\bruch{\varepsilon}{|n|}(2+a-b))=0 [/mm]

Anwendung:


[mm] \integral_{\pi}^{x}{cos(kx)dx}=\bruch{sin(kx)}{k} [/mm]

Riemannsche Summe für Kosinus: [mm] \summe_{k=1}^{n}cos(kx)= \bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{x}{2})}-\bruch{1}{2}=\integral_{\pi}^{x}{\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{x}{2})}dx}-\bruch{x-\pi}{2} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(F_{n}(x)):=\limes_{n\rightarrow\infty}(\integral_{\pi}^{x}{\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{x}{2})}dx})=0, x\in]0;2\pi[ [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{k=1}^{n}\bruch{sin(kx)}{k})=\summe_{k\in\IN}^{}\bruch{sin(kx)}{k}=\bruch{x-\pi}{2} [/mm]

        
Bezug
Differntia-/Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Sa 05.03.2005
Autor: Astrid

Hallo,

es wäre nett, wenn du etwas ausformulieren könntest, was du eigentlich möchtest...
Ist das eine Frage? Dann stelle bitte auch eine.
Gehört das zu einem anderen Strang? Dann solltest du eigentlich dort antworten!

Bitte teile uns doch mit, wozu dieser Text gehören soll!

Danke und Gruss,
Astrid



Bezug
                
Bezug
Differntia-/Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 So 06.03.2005
Autor: Fibonacchi

Sollte ein von mir als interessant empfundenes Lemma einer als interessant empfindenden Öffentlichkeit mitteilen.

Bezug
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