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| Aufgabe | Was ist die Dimension eines Vektorraums?
Berechne die Dimension des Lösungsraums des durch
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 6 & 1 & 2 & 0 }
[/mm]
gegebenen homogenen Systems linearer Gleichungen. |
Also ich hab das Ding dann einmal auf Stufenform gebracht und dann sieht das ganze so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 14/9 & -7/3 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 & -1/9 & 2/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ich weiß jetzt dass der Rang der Matrix 3 ist aber wie kann ich daraus jetzt genau auf die Dimension schließen?
Danke
Michael
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Was ist die Dimension eines Vektorraums?
> Berechne die Dimension des Lösungsraums des durch
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 6 & 1 & 2 & 0 }[/mm]
>
> gegebenen homogenen Systems linearer Gleichungen.
> Also ich hab das Ding dann einmal auf Stufenform gebracht
> und dann sieht das ganze so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 14/9 & -7/3 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 & -1/9 & 2/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1/3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
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> Ich weiß jetzt dass der Rang der Matrix 3 ist aber wie kann
> ich daraus jetzt genau auf die Dimension schließen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nachgerechnet habe ich Deine Umformung nicht.
Die Dimension des Lösungsraumes Deines homogenen linearen Gleichungssystems ist Spaltenzahl - Rang=6-3=3.
Die letzten drei Variablen sind frei wählbar.
Gruß v. Angela
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Das heißt für die letzten 3 variablen kann ich alles mögliche einsetzen und das ergebnis stimmt trotzdem ?!
und wie schreibe ich das formal an an:
Was ist die Dimension eines Vektorraums?
wir haben außerdem gelernt dass eine 2*2 Matrize 4D ist und eine 3*2 9D????
das würde sich dann doch wiedersprechen oder??
lg
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> Das heißt für die letzten 3 variablen kann ich alles
> mögliche einsetzen und das ergebnis stimmt trotzdem ?!
Ja. Wenn Du die ersten drei Variablen dann entsprechend den Eingesetzten berechnest.
Kannst Dich ja mal an der Bestimmung des Lösungsraumes hiervon versuchen:
x+y+z=0
2x+y+z=0
Das sind zwei Ebenen, die zum Schnittgeracht werden, solltest Du in der Schule gemacht haben.
> und wie schreibe ich das formal an an:
> Was ist die Dimension eines Vektorraums?
Eigentlich sollte das in der Vorlesung drangewesen sein...
Du kannst hier z.B. antworten: die Anzahl der Elemente einer Basis.
>
> wir haben außerdem gelernt dass eine 2*2 Matrize 4D ist und
> eine 3*2 9D????
> das würde sich dann doch wiedersprechen oder??
Erstmal heißt das Matrix, Matrize ist was anderes.
Du verwechselst gerade etwas.
In der eingangs gestellten Aufgabe ging es ja darum, daß ein homogenes lineares GS in einer Matrix "verpackt" war. Hier hat man sich für den Lösungsraum des GSs interessiert.
In der jetzt gestellten Frage betrachtest Du den Vektorraum, dessen Elemente (Vektoren) 2*2 Matizen sind. Dieser VR hat die Dimension 4, denn eine Basis besteht ja aus den 4 Elementarmatrizen.
Was Dich beim VR der 3*2 Matrizen geritten hat, weiß ich nicht, oder sollte es 3x3 heißen? Dann würde Dimension =9 stimmen, andernfalls nicht.
Gruß v. Angela
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