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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums
V:= [mm] \{ \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } \in x_{1} +x_{3}=2x_{2}[ ] und [ ] 4x_{2}-2x_{1} -2x_{3} = 0 \} [/mm] |
Hallo liebe Leute,
ich schreibe demnächst eine Klausur. Eigentlich kann ich Dimensionen bestimmen, aber diese simple Aufgaben kann ich nicht lösen. Ich weiß, dass die richtige Antwort dim(V)= 2 ist. Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß wie ich hierzu das Richtige LGS aufstelle. Ich würde mich über schnelle Hilfe freuen! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 05.02.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Molo-Hamburg,
erst mal zur Notation:
Du meinst sicherlich
[mm] $V=\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3| x_1+x_3=2x_2\mbox{ und }4x_2-2x_1-2x_3=0\}$
[/mm]
Es ist aber [mm] x_1+x_3=2x_2\gdw4x_2-2x_1-2x_3=0. [/mm] Das impliziert
[mm] $V=\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3| x_1+x_3=2x_2\mbox{ und }4x_2-2x_1-2x_3=0\}= \{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3| x_1+x_3=2x_2\}$.
[/mm]
V besteht also aus Vektoren der Form
[mm] \vektor{x_1\\ \frac{x_1+x_3}{2} \\ x_3}, \vektor{2x_2-x_3\\x_2\\x_3}, \vektor{x_1\\x_2\\2x_2-x_1}.
[/mm]
Forme dazu einfach die Gleichung aus V entsprechend um und setze sie für [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] ein.
Es gilt also $Span( [mm] \vektor{x_1\\ \frac{x_1+x_3}{2} \\ x_3}, \vektor{2x_2-x_3\\x_2\\x_3}, \vektor{x_1\\x_2\\2x_2-x_1})=V$ [/mm] für Tripel [mm] (x_1,x_2,x_3)\in\IR^3\setminus \mbox{Lös}(\pmat{1 & -2 & 1},0). [/mm] Setze [mm] x_1:=2, x_2:=1 [/mm] und [mm] x_3:=1.
[/mm]
Nun muss man zu gegebenen Erzeugendensystem eine Basis finden.
Diese Aufgabe sollte dir evtl. bekannt sein.
Nutze nun elementare Spaltenumformungen um
[mm] \pmat{ x_1 & 2x_2-x_3 & x_1 \\ \frac{x_1+x_3}{2} & x_2 & x_2 \\ x_3 & x_3 & 2x_2-x_1}
[/mm]
für die konkreten Werte (s.o.) umzuformen.
Das darfst du machen, denn es gilt:
[mm] $v_1,...,v_n\in [/mm] U, [mm] a\in [/mm] K: [mm] Span(v_1,...,v_n)=Span(v_1,...,v_n+av_i) \mbox{ für } i\neq [/mm] n$
Nach Spaltenumformungen erhälst du eine Matrix mit einer Null-Spalte und zwei linear unabhängige Spaltenvektoren, die offensichtlich deine Basis bilden.
LG
Ladon
EDIT: Ich hoffe alle Tippfehler sind ausgemerzt.
EDIT2: Vielen Dank für den Hinweis bzgl. Unklarheiten.
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Super Dankeschön! :) Das hat mir echt geholfen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Molo-Hamburg,
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> erst mal zur Notation:
> Du meinst sicherlich
> [mm]V=\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3| x_1+x_3=2x_2\mbox{ und }4x_2-2x_1-2x_3=0\}[/mm]
>
> Es ist aber [mm]x_1+x_3=2x_2\gdw4x_2-2x_1-2x_3=0.[/mm] Das
> impliziert
> [mm]V=\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3| x_1+x_3=2x_2\mbox{ und }4x_2-2x_1-2x_3=0\}= \{\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3| x_1+x_3=2x_2\}[/mm].
>
> V besteht also aus Vektoren der Form
> [mm]\vektor{x_1\\ \frac{x_1+x_3}{2} \\ x_3}, \vektor{2x_2-x_3\\x_2\\x_3}, \vektor{x_1\\x_2\\2x_2-x_1}.[/mm]
Was treibst Du da eigentlich ??????
>
> Forme dazu einfach die Gleichung aus V entsprechend um und
> setze sie für [mm]x_1,x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] ein.
> Nun muss man zu gegebenen Erzeugendensystem eine Basis
> finden.
> Diese Aufgabe sollte dir evtl. bekannt sein.
> Es gilt also [mm]Span( \vektor{x_1\\ \frac{x_1+x_3}{2} \\ x_3}, \vektor{2x_2-x_3\\x_2\\x_3}, \vektor{x_1\\x_2\\2x_2-x_1})=V[/mm].
Es ist ja löblich, dass Du helfen willst. Aber ohne Exakteit geht so etwas nicht !
Mir Verlaub, aber
[mm]Span( \vektor{x_1\\ \frac{x_1+x_3}{2} \\ x_3}, \vektor{2x_2-x_3\\x_2\\x_3}, \vektor{x_1\\x_2\\2x_2-x_1})=V[/mm]
ist völliger Quark ! Für [mm] x_1=x_2=x_3=0 [/mm] ist
[mm]Span( \vektor{x_1\\ \frac{x_1+x_3}{2} \\ x_3}, \vektor{2x_2-x_3\\x_2\\x_3}, \vektor{x_1\\x_2\\2x_2-x_1})=\{0\} \ne V[/mm].
FRED
>
> Nutze nun elementare Spaltenumformungen um
> [mm]\pmat{ x_1 & 2x_2-x_3 & x_1 \\ \frac{x_1+x_3}{2} & x_2 & x_2 \\ x_3 & x_3 & 2x_2-x_1}[/mm]
>
> umzuformen.
> Das darfst du machen, denn es gilt:
> [mm]v_1,...,v_n\in U, a\in K: span(v_1,...,v_n)=span(v_1,...,v_n+av_i) \mbox{ für } i\neq n[/mm]
>
> Nach Spaltenumformungen erhälst du eine Matrix mit einer
> Null-Spalte und zwei linear unabhängige Spaltenvektoren,
> die offensichtlich deine Basis bilden.
>
> LG
> Ladon
> EDIT: Ich hoffe alle Tippfehler sind ausgemerzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums
>
> V:= [mm]\{ \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } \in x_{1} +x_{3}=2x_{2}[ ] und [ ] 4x_{2}-2x_{1} -2x_{3} = 0 \}[/mm]
>
> Hallo liebe Leute,
> ich schreibe demnächst eine Klausur. Eigentlich kann ich
> Dimensionen bestimmen, aber diese simple Aufgaben kann ich
> nicht lösen. Ich weiß, dass die richtige Antwort dim(V)=
> 2 ist. Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß wie ich
> hierzu das Richtige LGS aufstelle. Ich würde mich über
> schnelle Hilfe freuen! :)
Schauen wir uns die Gleichungen
[mm] x_{1} +x_{3}=2x_{2}
[/mm]
[mm] 4x_{2}-2x_{1} -2x_{3} [/mm] = 0
genauer an:
Die erste Gleichung kann man auch so schreiben
(1) [mm] x_1-2x_2+x_3=0
[/mm]
und die 2. so:
(2) [mm] -2x_1+4x_2-2x_3=0. [/mm] Wenn man genau hinschaut, so soeht man: wenn ich die Gl. (1) mit $-2$ multipliziere, erhalte ich Gl(2).
Das bedeutet:
[mm] $V=\{ \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }: x_1-2x_2+x_3=0 \} [/mm] $
Das "richtige LGS" ist also:
[mm] x_1-2x_2+x_3=0.
[/mm]
V ist also eine Ebene im Raum [mm] \IR^3:
[/mm]
Aus (1) folgt:
[mm] x_1=2x_2+(-1)x_3.
[/mm]
Wir ergänzen:
[mm] x_1=2*x_2+(-1)*x_3
[/mm]
[mm] x_2=1*x_2+0*x_3
[/mm]
[mm] x_3=0*x_2+1*x_3
[/mm]
Du siehst also: [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] sind frei wählbar. Setzen wir [mm] t:=x_2 [/mm] und [mm] s:=x_3, [/mm] so haben wir:
[mm] $\vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } \in [/mm] V$ [mm] \gdw \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=t*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=t*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
ist eine Parameterdarstellung der Ebene V.
FRED
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HGallo Fred, danke dass du dir das nochmal angeschaut hast, jedoch habe ich eine Frage:
> Wir ergänzen:
>
> [mm]x_1=2*x_2+(-1)*x_3[/mm]
>
> [mm]x_2=1*x_2+0*x_3[/mm]
>
> [mm]x_3=0*x_2+1*x_3[/mm]
Wie kommt man den auf die Gleichung von x2 und x3?
Wenn ich mit der obrigen Ebenenumgleichung umforme komme ich auf andere Gleichungen.
Könntest du mir das eventuell nochmal kurz erläutern?
Schon einmal ein dickes Danke im Voraus! :)
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> HGallo Fred, danke dass du dir das nochmal angeschaut hast,
> jedoch habe ich eine Frage:
>
> > Wir ergänzen:
> >
> > [mm]x_1=2*x_2+(-1)*x_3[/mm]
> >
> > [mm]x_2=1*x_2+0*x_3[/mm]
> >
> > [mm]x_3=0*x_2+1*x_3[/mm]
>
>
> Wie kommt man den auf die Gleichung von x2 und x3?
> Wenn ich mit der obrigen Ebenenumgleichung umforme komme
> ich auf andere Gleichungen.
> Könntest du mir das eventuell nochmal kurz erläutern?
Hallo,
da wurde nicht die Ebenengleichung umgeformt, sondern sie wurde durch zwei Gleichungen ergänzt.
Die ergänzenden Gleichungen sind offenbar richtig, denn daran, daß [mm] x_2=1*x_2=1*x_2+0*x_3, [/mm] dürfte kein Zweifel bestehen. [mm] x_3 [/mm] entsprechend.
Ich sag's nochmal etwas anders:
in V sind (wie bereits besprochen) alle Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}, [/mm] für die gilt
[mm] x_1=2*x_2+(-1)*x_3 \qquad (\*)
[/mm]
Man kann [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] beliebig wählen, und sofern man obiger Bauanleitung für [mm] x_1 [/mm] folgt, bekommt man ein Element von V.
Z.B. ist der Vektor [mm] \vektor{2*47+(-1)*11\\47\\11} [/mm] in V.
Wählen wir also [mm] x_2, x_3 [/mm] beliebig,
[mm] x_3:=t,
[/mm]
[mm] x_2:=s,\qquad s,t\in \IR,
[/mm]
bekommen wir aus [mm] (\*)
[/mm]
[mm] x_1=2s+(-1)*t,
[/mm]
und wissen, daß alle Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] aus V von dieser Bauart sind:
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2s+(-1)*t\\s\\t}=s*\vektor{2\\1\\0}+t*\vektor{-1\\0\\1} \qquad [/mm] mit [mm] s,t\in \IR.
[/mm]
LG Angela
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> Schon einmal ein dickes Danke im Voraus! :)
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Ahh okay jetzt wirds klar :)
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