Dirichletfunktion punktw. konv < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich hab hier eine Aufgabe, die ich recht komplitziert finde. Ich soll bei der Dirichletfunktion.
d(x) = 0, kein Element Q
= 1/q, x= p/q mit teilerfremden p,q, und q > 0
Aufgabe: konstruiere eine Folge stetiger Funktionen die punktweise gegen d konvergiert.
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> Hallo!
> Ich hab hier eine Aufgabe, die ich recht komplitziert
> finde. Ich soll bei der Dirichletfunktion.
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> d(x) = 0, kein Element Q
> = 1/q, x= p/q mit teilerfremden p,q, und q > 0
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> Aufgabe: konstruiere eine Folge stetiger Funktionen die
> punktweise gegen d konvergiert.
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Ich hätte die folgende, wohl nicht beliebig elegant formulierte (formulierbare?) Lösung anzubieten: [mm] Sei$f_n$ [/mm] diejenige (stetige) Funktion [mm] $\IR\rightarrow \IR$, [/mm] deren Graph die lineare Interpolation der Punkte
[mm]\big\{\big(\tfrac{p}{q}\mid \tfrac{1}{q}\big) : q\in \IN, p \in \IZ, q\leq n, p \text{ und } q \text{ teilerfremd}\big\}[/mm]
ist.
Nun hätte man sich also zu überlegen, ob diese Folge stetiger Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] wohldefiniert ist und für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=d(x)$ [/mm] besitzt. Letztere Eigenschaft wird man mit Hilfe einer, der Definition von $d(x)$ folgenden Fallunterscheidung [mm] ($x\notin \IQ$, $x\in \IQ$) [/mm] beweisen müssen.
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