Divergenz/Konvergenz v. Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimme ob Divergenz oder Konvergenz vorliegt
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{5+3n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2 *ln(n)}
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3}
[/mm]
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Moin,
wie mache ich das??
Ich vermute, dass ich hier den Grenzwert bilden muss, aber wie?
z.b. c) Wenn ich den Ausdruck ohne Summe betrachte, und davon den Grenzwert für n gegen [mm] \infty [/mm] bilde, dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2*(5 -\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2})}{n^3*(1+\bruch{4}{n^2}+\bruch{3}{n^3})}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5}{n*(1)} [/mm] = 0
Aber reicht das schon aus?
Danke & Gruß
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Hallo Wolfgang,
> Bestimme ob Divergenz oder Konvergenz vorliegt
>
> a) [mm] $\summe^{\infty}_{\red{n}=1} \bruch{1}{5+3n}$
[/mm]
>
> b) [mm] $\summe^{\infty}_{\red{n}=2} \bruch{1}{n^2 *ln(n)}$
[/mm]
>
> c) [mm] $\summe^{\infty}_{\red{n}=1} \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3}$
[/mm]
Obacht mit den Laufindizes!
>
>
> Moin,
>
> wie mache ich das??
>
> Ich vermute, dass ich hier den Grenzwert bilden muss, aber
> wie?
>
> z.b. c) Wenn ich den Ausdruck ohne Summe betrachte, und
> davon den Grenzwert für n gegen [mm]\infty[/mm] bilde, dann
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2*(5 -\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2})}{n^3*(1+\bruch{4}{n^2}+\bruch{3}{n^3})}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5}{n*(1)}[/mm] = 0
>
> Aber reicht das schon aus?
Nein, das besagt nur, dass das Trivialkriterium erfüllt ist, dass also die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist, was notwendige Voraussetzung für die Konvergenz der zugeh. Reihe ist.
Allerdings ist es nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] zeigt. Die divergiert, obwohl die Folge [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist
Verwende hier für alle drei Reihen das Vergleichskriterium (Majoranten-/Minorantenkroterium)
Die erste und letzte Reihe sind ja von der Größenordnung [mm] $K\cdot{}\sum\frac{1}{n}$, [/mm] suche für beide also mit einer Variante der harmonischen Reihe eine divergente Mionrante, um die Divergenz zu zeigen
Bei (b) suche eine konvergente Majorante, bedenke das die Reihen des Typs [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ [/mm] für $s>1$ konvergieren und für [mm] $s\le [/mm] 1$ divergieren
Um einen (positiven) Bruch zu vergrößern, kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern
Überlege, wie du naheliegend das [mm] $\ln(n)$ [/mm] im Nenner verkleinern kannst im Hinblick auf die konvergenten Reihen des Typs [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$
[/mm]
>
> Danke & Gruß
>
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
das habe ich nun überhaupt nicht verstanden.
> Hallo Wolfgang,
>
> > Bestimme ob Divergenz oder Konvergenz vorliegt
> >
> > a) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=1} \bruch{1}{5+3n}[/mm]
> >
> > b) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=2} \bruch{1}{n^2 *ln(n)}[/mm]
> >
> > c) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=1} \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3}[/mm]
>
> Obacht mit den Laufindizes!
>
Die Laufindizes sind vorgegeben.
für a) läuft n von 1 bis [mm] \infty
[/mm]
für b) läuft n von 2 bis [mm] \infty
[/mm]
für c) läuft n von 1 bis [mm] \infty
[/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe, erfinde ich eine Reihe, deren Glieder [mm] b_n [/mm] stets kleiner als die [mm] a_n [/mm] sind; bzw. eine Reihe, deren Glieder [mm] b_n [/mm] stets größer als die [mm] a_n [/mm] sind. Dann konvergiert die Reihe.
> Verwende hier für alle drei Reihen das Vergleichskriterium
> (Majoranten-/Minorantenkroterium)
> Die erste und letzte Reihe sind ja von der Größenordnung
> [mm]K\cdot{}\sum\frac{1}{n}[/mm], suche für beide also mit einer
> Variante der harmonischen Reihe eine divergente Mionrante,
> um die Divergenz zu zeigen
> Bei (b) suche eine konvergente Majorante, bedenke das die
> Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für
> [mm]s>1[/mm] konvergieren und für [mm]s\le 1[/mm] divergieren
>
> Um einen (positiven) Bruch zu vergrößern, kannst du den
> Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern
>
> Überlege, wie du naheliegend das [mm]\ln(n)[/mm] im Nenner
> verkleinern kannst im Hinblick auf die konvergenten Reihen
> des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Moin,
>
> das habe ich nun überhaupt nicht verstanden.
>
>
> > Hallo Wolfgang,
> >
> > > Bestimme ob Divergenz oder Konvergenz vorliegt
> > >
> > > a) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=1} \bruch{1}{5+3n}[/mm]
> > >
> > > b) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=2} \bruch{1}{n^2 *ln(n)}[/mm]
> >
> >
> > > c) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=1} \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3}[/mm]
>
> >
> > Obacht mit den Laufindizes!
> >
>
> Die Laufindizes sind vorgegeben.
>
> für a) läuft n von 1 bis [mm]\infty[/mm]
> für b) läuft n von 2 bis [mm]\infty[/mm]
> für c) läuft n von 1 bis [mm]\infty[/mm]
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, erfinde ich eine
> Reihe, deren Glieder [mm]b_n[/mm] stets kleiner als die [mm]a_n[/mm] sind;
> bzw. eine Reihe, deren Glieder [mm]b_n[/mm] stets größer als die [mm]a_n[/mm]
> sind. Dann konvergiert die Reihe.
>
> > Verwende hier für alle drei Reihen das Vergleichskriterium
> > (Majoranten-/Minorantenkroterium)
>
> > Die erste und letzte Reihe sind ja von der Größenordnung
> > [mm]K\cdot{}\sum\frac{1}{n}[/mm], suche für beide also mit einer
> > Variante der harmonischen Reihe eine divergente Mionrante,
> > um die Divergenz zu zeigen
>
> > Bei (b) suche eine konvergente Majorante, bedenke das die
> > Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für
> > [mm]s>1[/mm] konvergieren und für [mm]s\le 1[/mm] divergieren
> >
> > Um einen (positiven) Bruch zu vergrößern, kannst du den
> > Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern
> >
> > Überlege, wie du naheliegend das [mm]\ln(n)[/mm] im Nenner
> > verkleinern kannst im Hinblick auf die konvergenten Reihen
> > des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm]
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Bemerkung zu c)
Man sieht (bzw. ich sehe) dass die Terme [mm] \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3} [/mm] alle kleiner als [mm] \bruch{5}{n} [/mm] sind.
Das hilft hier gerade NICHT. Ich weiß zwar, dass die Reihe [mm] \bruch{5}{n} [/mm] divergiert, da aber [mm] \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3} [/mm] kleiner ist als [mm] \bruch{5}{n}, [/mm] könnte es ja durchaus noch konvergieren.
Es sollte sich aber zeigen lassen, dass (vielleicht mit Ausnahme einiger kleiner Werte n) [mm] \bruch{5n^2-n+1}{n^3+4n+3} [/mm] größer ist als [mm] \bruch{4}{n}. [/mm] Wenn letztere Reihe divergiert, müsste es die erste erst recht tun.
Gruß Abakus.
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