Division Zahl + QS durch 9 < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Di 18.05.2010 | | Autor: | jarna37 |
| Aufgabe | | Erklären Sie, warum man bei der Division einer Zahl durch 9 immer denselben Rest erhält wie bei der Division der Quersumme durch 9 |
Hallo!
Also, das ist die Aufgabe, die ich lösen soll. Leider hab ich keinen blassen Schimmer, wie ich das anfangen soll - bin also sehr dankbar für jede Idee :)
Grüße und vielen Dank,
Jana
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Hallo Jana,
überlege dir, dass eine (nat.) Zahl a die Dezimaldarstellung [mm] $a=\sum\limits_{k=0}^{n}a_k\cdot{}10^k$ [/mm] mit [mm] $a_i\in\{0,\ldots,9\}$ [/mm] für [mm] $i=0,1,\ldots,n$
[/mm]
Damit ist [mm] $\operatorname{QS}(a)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_k$
[/mm]
Nun ein bisschen Kongruenzrechnung ...
Sagen wir, die Quersumme lässt Rest r, also
[mm] $\operatorname{QS}(a)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_k [/mm] \ [mm] \equiv [/mm] \ r \ \ [mm] \operatorname{mod}(9)$
[/mm]
Was passiert in dieser Kongruenz bei Multiplikation mit 10?
Bedenke $10 \ [mm] \equiv [/mm] \ 1 \ \ [mm] \operatorname{mod}(9)$
[/mm]
Hilft das?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Di 18.05.2010 | | Autor: | jarna37 |
Vielen Dank für die superschnelle Antwort.
Aber leider muss ich sagen, dass modulo-rechnen so ganz und gar nicht mein Fall war... Geht das auch irgendwie anders?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 18.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Modulo rechnen nicht dein Fall? Wenn du mit zeiten rechnest rechnest du ganz von allei nmod 12 oder mod 24.
aber anders. 1,10, 100 allgemein [mm] 10^N [/mm] lässt bei division durch 9 immer den Rest 1
wenn du also etwa 343:9 rechnest, hast du (3*100+4*10+3*1):9
und damit die Reste 3*1+4*1+3*1 also 10 als Rest, und das ergibt dann endgültig 1 als Rest.
jetzt mach das allgemein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Di 18.05.2010 | | Autor: | jarna37 |
Tut mir leid, irgendwie schein ich grad auf dem schlauch zu stehen...
ich muss ja beweisen, dass sowohl bei einer division einer zahl durch 9, wie auch bei einer division der quersumme der zahl durch 9, der gleiche rest rauskommt, rest 1.
die zahl kann ich ja aufteilen nach [mm] a_{k}*10^{k}+a_{k-1}*10^{k-1}+ [/mm] ... + [mm] a_{1}*10+a_{0} [/mm]
die quersumme ist dann [mm] a_{k}+a{k-1}+ [/mm] ... +a{1}+a{0}
aber irgendwie schaff ich das nicht so "schön" hinzuschreiben, wie bei einer normalen zahl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Di 18.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der gleiche Rest, nicht Rest 1! das war doch nur ein Beispiel.
Hast du denn verstanden, warum es richtig ist, eben weil [mm] 10^k [/mm] für alle k den Rest 1 lässt?
Warum kannst du dann nicht sas aufschreiben? mit oder ohne mod Schreibweise.
Versuch es erstmal in Worten zu erklären!So wie du es einem Schüler erklären würdest.
Gruss leduart
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