Doppelreihe, Cauchy, Umordnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Di 01.01.2008 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
ich schaue gerade meine Analysis-Sachen durch und merke, dass ich doch einige Dinge nicht verstehe und ich würd mich freuen wenn mir jemand bestimmte Sachen einfach erklären könnte irgendwie.
1. Also den Doppelreihensatz versteh ich absolut gar nicht. Und wofür brauche ich den?
Doppelreihensatz:
Seien [mm] a_{i,j} \in \IC [/mm] für i,j [mm] \in \IN. [/mm] Dann sind äquivalent:
1. (i,j) [mm] \mapsto a_{i,j} [/mm] ist eine summierbare Abbildung [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN \to \IC [/mm] und [mm] \summe_{i,j\ge 0}^{} a_{i,j} [/mm] = A
2. Für jedes [mm] i\in [/mm] I ist [mm] \summe_{}^{} a_{i,j} [/mm] absolut konvergent. Ist A:= [mm] \summe_{j \ge 0}^{} a_{i,j}, [/mm] so ist [mm] \summe_{i\ge 0}^{} A_{i}=A [/mm] mit absoluter Konvergenz.
Also irgendwie kann ich mir da rein gar nichts drunter vorstellen.
2. Dann hab ich hier noch den Großen Umordnungssatz. Also den kleinen Umordnungssatz habe ich wohl verstanden. Beim Großen hakts dann...
Sei M eine abzählbar unendliche Menge und sei a: M [mm] \to \IC [/mm] mit a: m [mm] \mapsto a_{m}. [/mm] Sei I eine abzählbare Indexmenge. Seien [mm] M_{i} \subset [/mm] M für i [mm] \in [/mm] I paarweise disjunkt mit [mm] \bigcup_{i \in I}^{} M_{i} [/mm] = M. Dann sind äquivalent:
1. a ist summierbar mit [mm] \summe_{m \in M}^{} [/mm] = A
2. [mm] a|_{M_{i}} [/mm] ist summierbar. Ist [mm] \summe_{m \in M_{i}}^{} a_{m} [/mm] := [mm] A_{i}, [/mm] so ist A: I [mm] \to \IC [/mm] summierbar und [mm] \summe_{i \in I}^{} A_{i} [/mm] = A
Also das was vor "dann sind äquivalent" steht, das verstehe ich noch. Aber ich versteh nicht so recht, was mir das bringen soll dieser Satz. Gibts dafür irgendein Beispiel oder sonstiges, wo man mir das klar machen könnte?
3. Das Cauchy-Produkt.
Seien [mm] \summe_{i \ge 0}^{} a_{i} [/mm] und [mm] \summe_{j \ge 0}^{} b_{j} [/mm] Reihen. Das Cauchy-Produkt dieser Reihen ist die Reihe [mm] \summe_{k \ge 0}^{} c_{k} [/mm] mit [mm] \summe_{i+j=k}^{} a_{i} b_{j} [/mm] = [mm] c_{k} [/mm] . Sind [mm] \summe_{}^{} a_{i} [/mm] und [mm] \summe_{}^{} b_{j} [/mm] absolut konvergent, so ist auch [mm] \summe_{}^{} c_{k} [/mm] absolut konvergent und [mm] \summe_{k \ge 0}^{} c_{k} [/mm] = ( [mm] \summe_{i \ge 0}^{} a_{i} [/mm] ) ( [mm] \summe_{j \ge 0}^{} b_{j} [/mm] )
Werden hier einfach nur zwei Reihen summiert. Also wirkliches jedes Reihenglied mit jedem? Weil ich mit der Schreibweise nicht wirklich klarkomme.... oder gibt es beim Cauchy-Produkt noch andere Sachen zu beachten?
lg Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 02.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Elfe!
> ich schaue gerade meine Analysis-Sachen durch und merke,
> dass ich doch einige Dinge nicht verstehe und ich würd mich
> freuen wenn mir jemand bestimmte Sachen einfach erklären
> könnte irgendwie.
>
> 1. Also den Doppelreihensatz versteh ich absolut gar nicht.
> Und wofür brauche ich den?
Bei allen diesen Sätzen geht es darum, wann ich bei Doppelsummen die Reihenfolge der einzelnen Glieder ungestraft verändern darf. Solange ich nur endlich viele Glieder vertausche, ist es kein Problem. Eine Umordnung unendlich vieler Summanden ist nicht immer möglich. Der Doppelreihensatz sagt dir, wann du das tun darfst.
Ich gebe dir ein Beispiel für das Cauchyprodukt.
> Seien [mm]\summe_{i \ge 0}^{} a_{i}[/mm] und [mm]\summe_{j \ge 0}^{} b_{j}[/mm] Reihen. Das Cauchy-Produkt dieser Reihen ist die Reihe
> [mm]\summe_{k \ge 0}^{} c_{k}[/mm] mit [mm]\summe_{i+j=k}^{} a_{i} b_{j} = c_{k}[/mm] . Sind [mm]\summe_{}^{} a_{i}[/mm] und [mm]\summe_{}^{} b_{j}[/mm] absolut konvergent, so ist auch [mm]\summe_{}^{} c_{k}[/mm] absolut
> konvergent und [mm]\summe_{k \ge 0}^{} c_{k}= ( \summe_{i \ge 0}^{} a_{i} ) ( \summe_{j \ge 0}^{} b_{j}) [/mm]
>
> Werden hier einfach nur zwei Reihen summiert.
Es werden zwei Reihen miteinander multipliziert.
> Also
> wirkliches jedes Reihenglied mit jedem?
Ja.
Der springende Punkt ist die Gleichheit: wann darfst du die Reihenfolge der Summationen so ändern, ohne dass sich der Grenzwert ändert? Es werden hier unendlich viele Terme umsortiert.
Beispiel: es seien für ein gegebenes [mm]x\in\IR[/mm]
[mm]U = \summe_{i \ge 0}^{} u_{i} x^i = u_0 + u_1 x + u_2 x^2 + \dots[/mm]
und
[mm]V = \summe_{j \ge 0}^{} v_{j} x^j = v_0 +v_1 x +v_2 x^2 +\dots[/mm]
zwei absolut konvergente Reihen. (Hier ist [mm]a_i = u_i x^i[/mm] und [mm]b_j=v_j x^j[/mm].)
Das Cauchyprodukt erlaubt es dir, das Produkt der beiden wieder nach Potenzen der x zu sortieren:
[mm]U*V = \summe_{k \ge 0}^{} c_{k}[/mm] mit [mm]c_k = \summe_{i+j=k}^{} a_{i} b_{j} = x^k * \summe_{i+j=k}^{} u_{i} v_{j}[/mm].
Das geht, weil die Reihen U und V absolut konvergent sind. Dann ist es möglich, die unendlich vielen Summanden anders zu sortieren, ohne dass sich am Grenzwert von [mm]U\cdot V[/mm] etwas ändert.
Viele Grüße
Rainer
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