EXP oder Exponential < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Sa 07.05.2011 | | Autor: | hawe |
| Aufgabe | | Wasser mit einer Temperatur von 6°C wird in einen 25°C warmen Raum gestellt und erwärmt sich pro Minute um 10% der Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur. |
Ich kann das jetzt als Prozentrechnung auffassen und komm auf:
fp(t) = 25 + [mm] (6-25)*(1-0.10)^t
[/mm]
also
fp(t) = 25 - [mm] 19*0.9^t
[/mm]
Jetzt hab ich mich an längst verschüttete Analysis erinnert und
die Differentialgleichung aufgestellt
f'(t) = (25-f(t))/10
damit komm ich auf
f(t) = 25-19*e^(-t/10)
Richtig?
Einsichtiger ist für mich fp. Sollte aber nicht auch f ein brauchbares Modell abgeben? Für t>0 gibt es leichte Differenzen zwischen beiden Funktionen. Was ist aus mathematischer Sicht zu den beiden Ansätzen zu sagen, welcher ist vorzuziehen?
|
|
| |
|
Hallo,
so wie du gerechnet hast, ist der erste Ansatz der exakte, der zweite jedoch eine Näherung. Der Grund dafür ist, dass du eine durchschnittliche Änderungsrate in der DGL verwendest, an Stelle der momentanen Änderungsrate. Die DGL dieses Vorgangs lautet ja allgemein
y'=k*(S-y)
und erst wenn man k so wählt, dass es die Änderung zu einem Zeitpunkt beschreibt, liefert die DGL das exakte Modell.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
