Ebene E durch 3Punkte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Do 02.02.2006 | | Autor: | SonyS |
| Aufgabe | Die drei Eckpunkte A(-2, 1, 1), B(4,4,-5) und C(2,0,3) einer Dreiecks sind im kartesischen Koordinaten gegeben. Gesucht ist:
die Gleichung der Ebene E durch die 3 Punkte A, B, C? |
Hallo,
ich habe der folgende Rechenweg versucht:
E: [mm] \vektor{x \\ y\\ z} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -3\\ 6} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-10 \\ -2\\ 8} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-8 \\ -7\\ 2}
[/mm]
Soweit ist alles gut, aber jetzt weiss ich nicht wie ich diese Lambda und Mu eliminieren kann, damit ich zu E: 2y + z - 3 = 0 komme. Kann mir vielleicht jemand kurz erklaeren wie das geht. Ich habe ein Paar Erklaerungen im Internet gefunden, aber ich komme nicht ganz klar mit den... Ich bin dankbar wirklich fuer jeder Antwort.
Viellen Dank im Vorraus.
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Hallo!
Um diese Aufgabe zu lösen gibt es mehrere Wege:
1. Die Gleichung $ [mm] E\colon [/mm] 2y + z - 3 = 0$ bedeutet ja gerade, dass das Skalarproukt eines Punktes [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] der Ebene mit [mm] $\vektor{0\\2\\1}$ [/mm] gleich $3$ sein muss. Wie kommst du dorthin?
Zunächst solltest du die Ebenengleichung mit [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] aufstellen. Mir scheint, dass du dich dabei verrechnet hast. Benutze $A$ als Aufpunkt:
[mm] $E\colon \vektor{-2\\1\\1}+\lambda\vektor{6\\3\\-6}+\mu\vektor{4\\-1\\2}$.
[/mm]
Jetzt bilde das Kreuzprodukt von [mm] $\vektor{6\\3\\-6}$ [/mm] und [mm] $\vektor{4\\-1\\2}$:
[/mm]
[mm] $\vektor{6\\3\\-6}\times \vektor{4\\-1\\2}=\vektor{6-(-6)\\-24-12\\-6-12}=\vektor{0\\-36\\-18}=-18*\vektor{0\\2\\1}$.
[/mm]
Nun bilde das Skalarprodukt des Aufvektors mit [mm] $\vektor{0\\2\\1}$:
[/mm]
[mm] $(-2,1,1)\vektor{0\\2\\1}=2+1=3$.
[/mm]
Insgesamt ergibt das [mm] $E\colon [/mm] 2y+z-3=0$.
2. Für einen Punkt der Ebene gilt:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{-2\\1\\1}+\lambda\vektor{6\\3\\-6}+\mu\vektor{4\\-1\\2}$.
[/mm]
Betrachte nun die einzelnen Zeilen als Gleichungen:
[mm] $x=-2+6*\lambda +4*\mu$
[/mm]
[mm] $y=1+3*\lambda-\mu$
[/mm]
[mm] $z=1-6*\lambda+2*\mu$
[/mm]
Löse dieses Gleichungssystem nach [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] auf. Dann bleibt nur noch eine Gleichung übrig, in der du [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] eliminiert hast - deine Ebenennormalform.
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Do 02.02.2006 | | Autor: | SonyS |
Vielen Dank fuer dein Antwort. Ich habe mich nicht nur verrechnet, sondern total verwirrt.... Danke, du hast mich sehr geholfen...:):):)
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