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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:24 Fr 04.01.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die ebene Kurve zu [mm] \kappa=\kappa(s)=\frac{1}{s} [/mm] und [mm] $\alpha_0=0,\; x_0=y_0=0\;(1\le s\le [/mm] 10)$. |
Hallo.
Es geht hier um den folgenden Satz dessen Voraussetzungen leicht ersichtlich erfüllt sind:
Voraussetzungen:
[mm] \kappa=\kappa(s) [/mm] stetige Fkt. für [mm] s_0\le s\le s_1,
[/mm]
[mm] (x_0,y_0)\in\IR^2 [/mm] ein Punkt,
[mm] $\alpha_0\in [0,2\pi).$
[/mm]
Dann gibt es genau einen glatten [mm] $C^2$-Weg g=(g_1,g_2) [/mm] im [mm] \IR^2, [/mm] der [mm] \kappa=\kappa(s) [/mm] als natürliche Gleichung hat und für den gilt: [mm] g(s_0)=(x_0,y_0) [/mm] sowie [mm] g'(s_0)=(cos(\alpha_0),sin(\alpha_0)).
[/mm]
Die natürliche Parametrisierung dieses Weges lautet explizit:
[mm] g_1(s)=x_0+\integral_{s_0}^{s}{cos(\alpha(\sigma)) d\sigma}
[/mm]
[mm] g_2(s)=y_0+\integral_{s_0}^{s}{sin(\alpha(\sigma)) d\sigma}
[/mm]
mit [mm] \alpha(\sigma)=\alpha_0+\integral_{s_0}^{\sigma}{\kappa(\tau) d\tau}\qquad (s_0\le\sigma\le s_1).
[/mm]
Da die Voraussetzungen erfüllt sind gibt es also genau einen glatten [mm] $C^2$-Weg g=(g_1,g_2), [/mm] der [mm] \kappa=\kappa(s) [/mm] als natürliche Gleichung hat und für den gilt: g(1)=(0,0) sowie g'(1)=(cos(0),sin(0))=(1,0).
Wir berechnen die nat. Parametrisierung von g:
[mm] \alpha(\sigma) [/mm] = [mm] 0+\integral_{1}^{\sigma}{\kappa(\tau) d\tau} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\sigma}{\frac{1}{\tau} d\tau} [/mm] = [mm] ln(\sigma).
[/mm]
[mm] g_1(s) [/mm] = [mm] 0+\integral_{1}^{s}{cos(ln(\sigma)) d\sigma} [/mm] = [mm] \dots
[/mm]
[mm] g_2(s) [/mm] = [mm] 0+\integral_{1}^{s}{sin(ln(\sigma)) d\sigma} [/mm] = [mm] \dots
[/mm]
Naja das ist m.E. nicht so leicht von Hand auszurechnen. Jedenfalls kommt dann soetwas heraus wie
[mm] g_1(s) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(s(sin(ln(s))+cos(ln(s)))-1)
[/mm]
[mm] g_2(s) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(s(sin(ln(s))-cos(ln(s)))+1)
[/mm]
Ist doch richtig soweit?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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