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| Aufgabe | | Durch die Spiegelung an einer Ebene E wird der Punkt P(6/0/3) auf den Punkt P'(-10/4/3) abgebildet.Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E auf. |
Hallo,
also ich habe schon einen Ansatzt, aber irgendwie komme ich dann nicht weiter. Also bestimmt muss ich doch erstmal eine Geradengleichung aufstellen, die durch die beiden punkte geht, also:
[mm] g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -16 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Dann muss ich doch eine Ebene aufstellen, die orthogonal zur Geraden ist. Nur wie mache ich das? Ich stehe grad irgendwie total aufm Schlauch.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Durch die Spiegelung an einer Ebene E wird der Punkt
> P(6/0/3) auf den Punkt P'(-10/4/3) abgebildet.Stellen Sie
> eine Gleichung der Ebene E auf.
> Hallo,
> also ich habe schon einen Ansatzt, aber irgendwie komme
> ich dann nicht weiter. Also bestimmt muss ich doch erstmal
> eine Geradengleichung aufstellen, die durch die beiden
> punkte geht, also:
> [mm]g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -16 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Dann muss ich doch eine Ebene aufstellen, die orthogonal
> zur Geraden ist.
Genau. Außerdem muss die Ebene E den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke [mm] $\overline{PP'}$ [/mm] enthalten.
> Nur wie mache ich das? Ich stehe grad
> irgendwie total aufm Schlauch.
[mm] $E=v+\lambda r+\mu [/mm] s$ wobei $v$ der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke ist und $r,s$ zwei linear unabhängige Vektoren orthogonal zum Richtungsvektor $(-4,1,0)$ der Verbindungsgeraden sind. Wie bestimmt man zwei solche Vektoren? Nun, [mm] $x\perp(-4,1,0)$ [/mm] bedeutet dass dass Skalarprodukt [mm] $x\cdot [/mm] (-4,1,0)$ verschwindet (also gleich 0 ist). Also: Finde zwei linear unabhänige Lösungsvektoren des linearen Gleichungssystems [mm] $-4x_1+x_2=0$.
[/mm]
Gruß, Robert
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okay vielen dank erstmal dafür. ich habs nur leider noch nicht so ganz verstanden. wie kommst du denn auf(-4/1/0)? und wie komme ich denn auf die zwei vektoren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 20.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> wie kommst du denn auf(-4/1/0)?
Naja der Richtungsvektor von deiner Geraden ist $(-16,4,0)$. Also ist doch auch [mm] $\frac{1}{4}\cdot(-16,4,0)=(-4,1,0)$ [/mm] ein Richtungsvektor. Damit hat man kleinere Zahlen...
> und wie komme ich denn auf die zwei vektoren?
Wie gesagt... zwei linear unabhängige Lösungen von der Gleichung [mm] $-4x_1+x_2+0\cdot x_3=0$. [/mm] Eine seh ich sofort: [mm] $x_1=x_2=0, x_3=1$...
[/mm]
Gruß, Robert
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okay muss es denn bei x3 unbedingt 1 sein oder kann es nicht auch eine andere zahl sein z.b. 3 oder so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 23.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> okay muss es denn bei x3 unbedingt 1 sein oder kann es
> nicht auch eine andere zahl sein z.b. 3 oder so?
Kann auch was anderes sein... ist doch klar.
Gruß, Robert
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