Ebenenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebenenschar [mm] E_{a}:x+(a-2)*y+(2a+1)*z=5-2a [/mm] mit [mm] a\in\IR.
[/mm]
a) Gibt es Ebene der Schar [mm] E_{a}, [/mm] die orthogonal zur z-Achse sind?
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Hallo zusammen^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe und komme a nicht mehr weiter.Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
a) Ich hab mir gedacht, dass wenn eine Ebene orthogonal zur z-Achse ist, dann muss ihr Normalenvektor kollinear zum Richtungsvektor der z-Achse sein.Der Normalenvektor der Ebene ist [mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ a-2 \\ 2a+1} [/mm] und der Richtungsvektor der z-Achse [mm] \vec{r}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.Ich [/mm] müsste also folgendes berechnen:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}=r*\vektor{1 \\ a-2 \\ 2a+1}
[/mm]
Dann krieg ich dieses LGS:
0=r
0=ar-2r
1=2ar+1
Dadurch hab ich aber kein eindeutiges a,weil dieses System für alle a lösbar ist.Heißt das, dass alle Ebenen der Schar orthogonal zur z-Achse liegen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Deine Überlegungen sind sehr gut und richtig ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 0=r
> 0=ar-2r
> 1=2ar+1
Die letzte Zeile muss aber heißen:
$$1 \ = \ 2a*r+ \ [mm] \red{r} [/mm] \ = \ r*(2a+1)$$
Hier sollte man nun erkennen, dass es kein eindeutiges $r_$ gibt ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 03.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> Deine Überlegungen sind sehr gut und richtig ...
>
>
> > 0=r
> > 0=ar-2r
> > 1=2ar+1
>
> Die letzte Zeile muss aber heißen:
> [mm]1 \ = \ 2a*r+ \ \red{r} \ = \ r*(2a+1)[/mm]
>
> Hier sollte man nun erkennen, dass es kein eindeutiges [mm]r_[/mm]
> gibt ...
>
Ok,das würde doch bedeuten,dass es keine Ebene der Schar gibt,die orthogonal zur z-Achse ist,da ich in der dritten Zeile einen Widerspruch habe oder?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
> Ok,das würde doch bedeuten,dass es keine Ebene der Schar
> gibt,die orthogonal zur z-Achse ist,da ich in der dritten
> Zeile einen Widerspruch habe oder?
Genau ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 03.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Gesucht sind Ebenen der Schar [mm] E_{a}:x+(a-2)\cdot{}y+(2a+1)\cdot{}z=5-2a, [/mm] welche die y-Achse unter einem Winkel von 45° schneiden. |
Hallo
Ich hab jetzt mal die b) versucht,aber irgendwie krieg ich die nicht richtig hin.
Die Formel für den Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene lautet:
[mm] sin\gamma=\bruch{|\vec{m}*\vec{n}|}{|\vec{m}|*|\vec{n}|}
[/mm]
Der Richtungsvektor [mm] \vec{m} [/mm] der y-Achse lautet: [mm] \vec{m}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und der Normalenvektor der Ebene [mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ a-2 \\ 2a+1}.
[/mm]
Jetzt rechne ich [mm] \vec{m}*\vec{n}=a-2.
[/mm]
Und [mm] |\vec{m}|=1
[/mm]
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{6+5a^{2}}
[/mm]
Das heißt, [mm] |\vec{m}|*|\vec{n}|=\wurzel{6+5a^{2}}.
[/mm]
Da der Sinus von 45° ist [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}.Jetzt [/mm] kann ich in die Formel einsetzen:
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{a-2}{\wurzel{6+5a^{2}}}.Wenn [/mm] ich das nach a auflöse,komme ich auf
[mm] a_{1}=8+6*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] a_{1}=-8+6*\wurzel{2}.
[/mm]
Die beiden Ergebnisse stimmen aber nicht.Ist mein Rechenweg bis hierhin falsch oder hab ich mich dann beim Umstellen nach a verrechnet???
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> b) Gesucht sind Ebenen der Schar
> [mm]E_{a}:x+(a-2)\cdot{}y+(2a+1)\cdot{}z=5-2a,[/mm] welche die
> y-Achse unter einem Winkel von 45° schneiden.
> Hallo
>
> Ich hab jetzt mal die b) versucht,aber irgendwie krieg ich
> die nicht richtig hin.
> Die Formel für den Schnittwinkel einer Geraden und einer
> Ebene lautet:
>
> [mm]sin\gamma=\bruch{|\vec{m}*\vec{n}|}{|\vec{m}|*|\vec{n}|}[/mm]
>
> Der Richtungsvektor [mm]\vec{m}[/mm] der y-Achse lautet:
> [mm]\vec{m}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] und der Normalenvektor der
> Ebene [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ a-2 \\ 2a+1}.[/mm]
>
> Jetzt rechne ich [mm]\vec{m}*\vec{n}=a-2.[/mm]
>
> Und [mm]|\vec{m}|=1[/mm]
>
> [mm]|\vec{n}|=\wurzel{6+5a^{2}}[/mm]
>
> Das heißt, [mm]|\vec{m}|*|\vec{n}|=\wurzel{6+5a^{2}}.[/mm]
>
> Da der Sinus von 45° ist [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}.Jetzt[/mm] kann
> ich in die Formel einsetzen:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}=\bruch{a-2}{\wurzel{6+5a^{2}}}.Wenn[/mm]
> ich das nach a auflöse,komme ich auf
>
> [mm]a_{1}=8+6*\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=-8+6*\wurzel{2}.[/mm]
>
> Die beiden Ergebnisse stimmen aber nicht.Ist mein Rechenweg
> bis hierhin falsch oder hab ich mich dann beim Umstellen
> nach a verrechnet???
Wahrscheinlich hat sich beim Umstellen auf eine
quadratische Gleichung ein Fehler eingeschlichen.
>
> Vielen Dank
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wahrscheinlich hat sich beim Umstellen auf eine
> quadratische Gleichung ein Fehler eingeschlichen.
Ok,ich hoffe so stimmt es nun.
Ich will das folgendes ja nach a umstellen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{a-2}{\wurzel{6+5a^{2}}}
[/mm]
Jetzt musltipliziere ich die rechte Seite mit [mm] \wurzel{2} [/mm] und die linke mit
[mm] \wurzel{6+5a^{2}}.Dann [/mm] hab ich
[mm] \wurzel{6+5a^{2}}=\wurzel{2}*a-2*\wurzel{2}
[/mm]
Jetzt quadriere ich das ganze und hab
[mm] 6+5a^{2}=2a^{2}+8
[/mm]
[mm] 3a^{2}=2
[/mm]
[mm] a^{2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{\wurzel{6}}{3}
[/mm]
[mm] a_{2}=-\bruch{\wurzel{6}}{3}
[/mm]
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 04.05.2009 | | Autor: | glie |
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> > Wahrscheinlich hat sich beim Umstellen auf eine
> > quadratische Gleichung ein Fehler eingeschlichen.
>
>
> Ok,ich hoffe so stimmt es nun.
>
> Ich will das folgendes ja nach a umstellen:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{a-2}{\wurzel{6+5a^{2}}}[/mm]
>
> Jetzt musltipliziere ich die rechte Seite mit [mm]\wurzel{2}[/mm]
> und die linke mit
>
> [mm]\wurzel{6+5a^{2}}.Dann[/mm] hab ich
>
> [mm]\wurzel{6+5a^{2}}=\wurzel{2}*a-2*\wurzel{2}[/mm]
>
> Jetzt quadriere ich das ganze und hab
>
> [mm]6+5a^{2}=2a^{2}+8[/mm]
Das stimmt hier nicht, denn wenn du die rechte Seite quadrierst, dann musst du die GANZE rechte Seite quadrieren und nicht jeden Summanden einzeln
[mm] (\wurzel{2}*a-2*\wurzel{2})^2=... [/mm] Stichwort BINOMISCHE FORMEL
Gruß Glie
>
> [mm]3a^{2}=2[/mm]
>
> [mm]a^{2}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]a_{1}=\bruch{\wurzel{6}}{3}[/mm]
>
> [mm]a_{2}=-\bruch{\wurzel{6}}{3}[/mm]
>
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 03.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | c) Gegeben ist die Ebenenschar [mm] E_{a}:x+(a-2)\cdot{}y+(2a+1)\cdot{}z=5-2a.
[/mm]
Gesucht ist eine Ebene E', die die Trägergerade [mm] h:\vec{x}=\vektor{6 \\ 0 \\ -1}+r*\vektor{-5 \\ -2 \\ 1} [/mm] enthält,aber nicht zur Schar [mm] E_{a} [/mm] gehört. |
Hallo^^
Die c) hab ich jetzt gemacht,aber ich bin mir sicher,ob das so stimmt.
Also ich hab zuerst die Klammern in der Schar aufgelöst und dann das a ausgeklammert:
[mm] E_{a}:x-2y+2z+a*(y+2z+2)=5.
[/mm]
Bedeutet das jetzt einfach,dass die Ebene y+2z+2=5 nicht zur Schar gehört,aber die Trägergerade enthält???
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> c) Gegeben ist die Ebenenschar
> [mm]E_{a}:x+(a-2)\cdot{}y+(2a+1)\cdot{}z=5-2a.[/mm]
> Gesucht ist eine Ebene E', die die Trägergerade
> [mm]h:\vec{x}=\vektor{6 \\ 0 \\ -1}+r*\vektor{-5 \\ -2 \\ 1}[/mm]
> enthält,aber nicht zur Schar [mm]E_{a}[/mm] gehört.
> Hallo^^
>
> Die c) hab ich jetzt gemacht,aber ich bin mir sicher,ob das
> so stimmt.
>
> Also ich hab zuerst die Klammern in der Schar aufgelöst und
> dann das a ausgeklammert:
>
> [mm]E_{a}:x-2y+2z+a*(y+2z+2)=5.[/mm]
>
> Bedeutet das jetzt einfach,dass die Ebene y+2z+2=5 nicht
> zur Schar gehört,aber die Trägergerade enthält???
>
Die Ebene
[mm]y+2z+2=5[/mm]
enthält auch nicht die Trägergerade.
Aber die Ebene
[mm]y+2z+2=\red{0}[/mm]
enthält die Trägergerade
und gehört nicht zur Ebenenschar [mm]E_{a}[/mm].
>
> Vielen Dank
>
> lg
Gruß
MathePower
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