Effektiver Zinssatz < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Sa 07.02.2009 | | Autor: | tywin |
Hallo,
man wird ja dauernd von Banken und Versicherungen mit diversen Anlageprodukte konfrontiert die, wenn es nach der Meinung der Berater geht, für den Kunden sehr empfehlenswert sind. Nun wie empfehlenswert sind sie wirklich?
Ich habe mir eine Sparvariante ausgesucht, dort wird mit hohen Zinsen gewoben und die Kosten nie erwähnt. Aber trotzdem gibts Anhaltspunkte den effektiven Zinssatz zu errechnen.
Auf 10 Jahre werden monatlich 20 eingezahlt (Einzahlung erfolgt am Anfang des Monats). Nach zehn Jahren führt die Bank ein Guthaben von 3040 an, auf das man wirklich ohne Kosten zugreifen kann. Das heißt wir kennen Input (10x12x20) und Output (3040). Zinssatz: 3 % pa mit einer jährlichen Prämie von 4 % der Einzahlungshöhe.
Sieht für mich nach einer nachschüssigen Rente aus mit der folgenden Berechnung:
240 * [mm] \bruch{x^{10} - 1}{x - 1} [/mm] = 3040
Was meint ihr dazu? Und wenn das nicht korrekt ist, wie komme ich hier zum effektiven Zinssatz, mit dem diese Produkte dann schlussendlich auch Vergleichbar werden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 So 08.02.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo tywin,
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> man wird ja dauernd von Banken und Versicherungen mit
> diversen Anlageprodukte konfrontiert die, wenn es nach der
> Meinung der Berater geht, für den Kunden sehr
> empfehlenswert sind. Nun wie empfehlenswert sind sie
> wirklich?
>
> Ich habe mir eine Sparvariante ausgesucht, dort wird mit
> hohen Zinsen gewoben und die Kosten nie erwähnt. Aber
> trotzdem gibts Anhaltspunkte den effektiven Zinssatz zu
> errechnen.
>
> Auf 10 Jahre werden monatlich 20 eingezahlt (Einzahlung
> erfolgt am Anfang des Monats). Nach zehn Jahren führt die
> Bank ein Guthaben von 3040 an, auf das man wirklich ohne
> Kosten zugreifen kann. Das heißt wir kennen Input
> (10x12x20) und Output (3040). Zinssatz: 3 % pa mit einer
> jährlichen Prämie von 4 % der Einzahlungshöhe.
>
> Sieht für mich nach einer nachschüssigen Rente aus mit der
> folgenden Berechnung:
>
> 240 * [mm]\bruch{x^{10} - 1}{x - 1}[/mm] = 3040
>
> Was meint ihr dazu? Und wenn das nicht korrekt ist, wie
> komme ich hier zum effektiven Zinssatz, mit dem diese
> Produkte dann schlussendlich auch Vergleichbar werden.
>
Es handelt sich hier um eine monatliche, vorschüssige Ratenzahlung. Ich gehe davon aus, dass die Prämien jährlich verzinst werden. Der Ansatz lautet daher:
[mm] K_{10} [/mm] = [mm] 20*(12+\bruch{0,03}{2}*13)*1,04^{10}*\bruch{1,03^{10}-1}{0,03} [/mm]
[mm] K_{10} [/mm] = 4.138,80
Da die Bank nur 3.040 auszahlt, liegt der Effektivzins weit unter 3 %.
Nach den gegeben Zahlenwerten ergibt sich jedoch eine jährliche Einzahlungsrate von (12*20 = 240) unter Berücksichtigung der einfachen Verzinsung in Höhe von 243,90. Nach 10 Jahren werden 3.040 ausgezahlt. Dies entspricht einer eff. Verzinsung von:
[mm] 243,90*\bruch{q^{10}-1}{q-1} [/mm] = 3.040
q = 1,04801
p = 4,801 %
Der exakte Effektivzins beträgt 4,62 % p.a.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 So 08.02.2009 | | Autor: | tywin |
Vielen Dank Josef für deine Antwort.
Ich hätte dazu noch folgende Verständnisfragen:
> Es handelt sich hier um eine monatliche, vorschüssige
> Ratenzahlung. Ich gehe davon aus, dass die Prämien jährlich
> verzinst werden. Der Ansatz lautet daher:
>
> [mm]K_{10}[/mm] =
> [mm]20*(12+\bruch{0,03}{2}*13)*1,04^{10}*\bruch{1,03^{10}-1}{0,03}[/mm]
>
> [mm]K_{10}[/mm] = 4.138,80
>
>
> Da die Bank nur 3.040 auszahlt, liegt der Effektivzins weit
> unter 3 %.
Warum dividierst du 0,03 hier durch 2 und multiplizierst den Wert dann mit 13?
Hier kommst du zur Feststellung, dass der Effektivzins weit unter 3 % liegt, warum setzt man nicht in dieser Fromen das q auf x und errechnet daraus den effektiven Zinssatz?
> Nach den gegeben Zahlenwerten ergibt sich jedoch eine
> jährliche Einzahlungsrate von (12*20 = 240) unter
> Berücksichtigung der einfachen Verzinsung in Höhe von
> 243,90. Nach 10 Jahren werden 3.040 ausgezahlt. Dies
> entspricht einer eff. Verzinsung von:
>
>
> [mm]243,90*\bruch{q^{10}-1}{q-1}[/mm] = 3.040
>
>
> q = 1,04801
>
> p = 4,801 %
>
>
> Der exakte Effektivzins beträgt 4,62 % p.a.
Wie kommst du hier auf die 243,9 und warum verwendest du nun diesen Rechenschritt um den Effektivzins zu errechnen?
Sry für die vielen Fragen aber mir ist wichtig, dass ich den Lösungsweg auch verstehe.
Beste Grüsse,
Tywin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 08.02.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo Tyin,
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> Ich hätte dazu noch folgende Verständnisfragen:
>
> > Es handelt sich hier um eine monatliche, vorschüssige
> > Ratenzahlung. Ich gehe davon aus, dass die Prämien jährlich
> > verzinst werden. Der Ansatz lautet daher:
> >
> > [mm]K_{10}[/mm] =
> >
> [mm]20*(12+\bruch{0,03}{2}*13)*1,04^{10}*\bruch{1,03^{10}-1}{0,03}[/mm]
> >
> > [mm]K_{10}[/mm] = 4.138,80
> >
> >
> > Da die Bank nur 3.040 auszahlt, liegt der Effektivzins weit
> > unter 3 %.
>
>
> Warum dividierst du 0,03 hier durch 2 und multiplizierst
> den Wert dann mit 13?
>
das ist die Formel für unterjährige, vorschüssige Ratenzahlungen. Durch die 13 wird die Vorschüssigkeit berücksichtigt.
> Hier kommst du zur Feststellung, dass der Effektivzins weit
> unter 3 % liegt, warum setzt man nicht in dieser Fromen das
> q auf x und errechnet daraus den effektiven Zinssatz?
>
>
das ist nur bei der jährlichen Berücksichtigung der Prämie, die auch jährlich verzinst wird.
> > Nach den gegeben Zahlenwerten ergibt sich jedoch eine
> > jährliche Einzahlungsrate von (12*20 = 240) unter
> > Berücksichtigung der einfachen Verzinsung in Höhe von
> > 243,90. Nach 10 Jahren werden 3.040 ausgezahlt. Dies
> > entspricht einer eff. Verzinsung von:
> >
> >
> > [mm]243,90*\bruch{q^{10}-1}{q-1}[/mm] = 3.040
> >
> >
> > q = 1,04801
> >
> > p = 4,801 %
> >
> >
> > Der exakte Effektivzins beträgt 4,62 % p.a.
>
> Wie kommst du hier auf die 243,9 und warum verwendest du
> nun diesen Rechenschritt um den Effektivzins zu errechnen?
>
[mm] 20*[12+\bruch{0,03}{2}*(12+1)] [/mm] = 243,90
> Sry für die vielen Fragen aber mir ist wichtig, dass ich
> den Lösungsweg auch verstehe.
>
Der korrekte Lösungsansatz lautet (nur aufgrund der monatlichen Zahlungen und dem Endkapital):
[mm] 20*[12+\bruch{(q-1)}{2}*13]*\bruch{q^{10}-1}{q-1} [/mm] = 3.040
q läßt sich nicht allgemein auflösen. Will man den Zinssatz ermitteln, so muss man zu einem geeigneten Verfahren der näherungsweisen Nullstellenbestimmung greifen. (z.B. Newton Verfahren, oder durch Schätzen und Ausprobieren.
q = 1,0462
Viele Grüße
Josef
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