Effiziente Schaetzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 10.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
| Aufgabe | Fuer [mm] n\in\mathbb{N} [/mm] seien [mm] X_1,\ldots,X_n [/mm] unabhaengige, identisch [mm] D(1/\beta) [/mm] -verteilte Zufallsvariablen, [mm] \beta>0 [/mm] , d.h. [mm] X_1 [/mm] besitzt die Dichte
[mm] f_{1,\beta}(x_1)=\frac{1}{2\beta}e^{-|x_1|/\beta}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \widehat{\beta}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i| [/mm] ein effizienter Schaetzer fuer [mm] \beta [/mm] ist. |
Irgendwie habe ich wohl gerade ein Brett vorm Kopf... damit [mm] \widehat{\beta} [/mm] effizient ist muss es ja erstmal erwartungstreu sein, aber
[mm] E_\beta\widehat{\beta}(X) [/mm] = [mm] E\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|X_i| [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE|X_i| [/mm] = [mm] \frac{n}{n}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\beta}e^{-\frac{|t|}{\beta}}|t|\,dt [/mm] = [mm] \int_0^\infty\frac{t}{\beta}e^{-\frac{t}{\beta}}\,dt=1
[/mm]
oder nicht? Da muss ich mich ja irgendwo vertan haben, aber ich seh es leider nicht. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 So 10.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> [mm]E_\beta\widehat{\beta}(X)[/mm] = [mm]E\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|X_i|[/mm] =
> [mm]\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE|X_i|[/mm] =
> [mm]\frac{n}{n}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\beta}e^{-\frac{|t|}{\beta}}|t|\,dt[/mm]
> = [mm]\int_0^\infty\frac{t}{\beta}e^{-\frac{t}{\beta}}\,dt=1[/mm]
>
> oder nicht?
Nein. Das ist doch dieselbe Rechnung wie beim Erwartungswert der Exponentialverteilung:
[mm]\int_0^\infty\frac{t}{\beta}e^{-\frac{t}{\beta}}\,dt
=\left[- e^{- t/\beta}(\beta+ t)\right]_0^\infty=\beta[/mm].
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 So 10.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
Danke fuer die Begruessung! Irgendwie hatte ich einfach eine Blockade bei dem Integral fuer den EW, dachte ich substituiere und [mm] \beta [/mm] verschwindet.
Nun muss ich also zeigen, dass die Varianz von [mm] \widehat{\beta} [/mm] der Cramer-Rao-Schranke gleicht, wenn ich das richtig verstanden habe. Die Varianz habe ich errechnet als
[mm] \mathrm{Var}_\beta\widehat{\beta}(X)=E_\beta(\widehat{\beta}^2(X))-(E_\beta\widehat{\beta}(X))^2
[/mm]
[mm] =\int_0^\infty\frac{t^2}{\beta}e^{-t/\beta}\,dt-\beta^2
[/mm]
[mm] =2\beta^2-\beta^2=\beta^2
[/mm]
Die Cramer-Rao-Schranke wurde in unserer Vorlesung definiert durch [mm] \frac{(\gamma'(\theta))^2}{I(\theta)} [/mm] wobei [mm] I(\theta):=E_\theta\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\log{}f_\theta(X)\right)^2.
[/mm]
Nun ist hier [mm] $\gamma=\mathrm{id}$, [/mm] also muss ich zeigen [mm] $I(\beta)=\beta^{-2}$ [/mm] aber das gelingt nicht recht... hier mein Versuch:
[mm] I(\beta)=E_\beta\left(\frac{\partial}{\partial\beta}\log{}f_\beta(X)\right)^2
[/mm]
[mm] =E_\beta\left(\frac{\partial}{\partial\beta}\log\left(\frac{1}{2\beta}e^{-|t|/\beta}\right)\right)^2
[/mm]
[mm] =E_\beta\left(-\frac{\beta+|t|}{\beta^2}\right)^2
[/mm]
[mm] =\beta^{-4}\int_{-\infty}^\infty t(\beta^2+2\beta|t|+t^2)\,dt
[/mm]
...aber kommt da nicht 0 raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 So 10.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Hier ist wohl der Wurm drin:
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> [mm]=E_\beta\left(\frac{\partial}{\partial\beta}\log\left(\frac{1}{2\beta}e^{-|t|/\beta}\right)\right)^2[/mm]
> [mm]=E_\beta\left(-\frac{\beta+|t|}{\beta^2}\right)^2[/mm] Hier muss irgendwas mit $X_$ stehen!
Ich mache mal einen Vorschlag: Was du hier behandelst ist eine doppelte Expontialverteilung.
1) Zeige, dass $|X|_$ exponentialverteilt ist.
2) Nach 1) ist [mm] $Y_1=|X_1|,\dots, Y_n=|X_n|$ [/mm] eine Stichprobe aus der Exponentialverteilung.
3) Fuer den Rest schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, ab Seite 41.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:32 So 10.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
Ah OK, also ist hier [mm] f_\theta [/mm] nicht die Verteilung einer ZV, sondern die gemeinsame Verteilung der ersten $n$ ZV... da muss ich dann das Produkt nehmen?
Muss ich das dann fuer alle $n$ zeigen, oder fuer [mm] n\to\infty, [/mm] oder wie?
(Danke fuer den Link, ich hoffe ihn mir irgendwann in Ruhe durchschauen zu koennen.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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