Eigenvektor symmetr. Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Man soll eine symmetrische 2x2-Matrix angeben, die den Eigenvektor
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] besitzt. |
Hallo,
ich hab irgendwo ein Denkfehler und komm hier nicht mehr weiter.
Ich bin so rangegangen:
Symmetrische Matrix heißt: [mm]\begin{pmatrix} A&B \\ B&C \end{pmatrix}[/mm]
Den Eigenvektor bestimm ich doch mit:
[mm]\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
Dann setz ich für [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ein und hab dann das GLS:
A+B = 0
B+C = 0
Daraus folgt: -A=B -> B+C=0 wird daher zu -A+C=0 -> A=C
Wenn ich jetzt als Probe eine Matrix nach obigen Kriterien aufstelle und mir dann den Eigenvektor ausrechne, komm ich aber nicht auf [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm].
Könntet ihr mir bitte weiterhelfen?
Dankeschön!
Gruß Manu
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Hallo,
> Man soll eine symmetrische 2x2-Matrix angeben, die den
> Eigenvektor
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] besitzt.
> Hallo,
>
> ich hab irgendwo ein Denkfehler und komm hier nicht mehr
> weiter.
> Ich bin so rangegangen:
> Symmetrische Matrix heißt: [mm]\begin{pmatrix} A&B \\ B&C \end{pmatrix}[/mm]
>
> Den Eigenvektor bestimm ich doch mit:
> [mm]\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm].
Das wäre "nur" ein Eigenvektor zum Eigenwert 0, ist hier aber geschickt diesen fall zu betrachten
> Dann setz ich für [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ein und hab dann das
> GLS:
> A+B = 0
> B+C = 0
> Daraus folgt: -A=B -> B+C=0 wird daher zu -A+C=0 -> A=C
>
Keinerlei Einwände.
> Wenn ich jetzt als Probe eine Matrix nach obigen Kriterien
> aufstelle und mir dann den Eigenvektor ausrechne, komm ich
> aber nicht auf [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm].
Es gibt nicht "den" Eigenvektor, die Matrix hat unendlich viele.
Der gesuchte wird aber einer davon sein. Was du falsch machst kann ich ohne zu sehen was du machst nicht beurteilen.
> Könntet ihr mir bitte weiterhelfen?
>
> Dankeschön!
>
> Gruß Manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Do 13.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Was spricht gegen die Einheitsmatrix ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Do 13.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Also es spricht nichts gegen die Einheitsmatrix, würd ich sagen.
Hier mal meine "Beispielproberechnung":
[mm]\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Dann hab ich als GLS:
[mm] 5x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] = 0
Aber da kommt doch [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] raus?
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du vergisst ja auch die Bedingung B=-A
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Do 13.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen Dank, dass hab ich einfach übersehen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 13.02.2014 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
ich glaube, du hast die Bedingung für Eigenwerte/Eigenvektoren nicht richtig verinnerlicht:
Für die allgemeine Matrix
[mm] $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$
[/mm]
berechnen sich die Eigenwerte und Eigenvektoren aus folgender Bedingung:
[mm] $\begin{pmatrix}(A-\lambda) & B \\ C &(D-\lambda)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}$ [/mm] der Eigenvektor.
Und [mm] $\lambda$ [/mm] sind die Eigenvektoren.
Grüße, Ulrich
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Hallo Ulrich,
mal ganz abgesehen davon, dass hier eigentlich schon alles geklärt ist, scheinst du die Aufgabenstellung missverstanden zu haben:
Es geht nicht darum alle Eigenwerte/vektoren einer Matrix zu finden, sondern eine Matrix mit einem bestimmten Eigenvektor.
Dazu hat sich Manu3911 auf einen Eigenwert von vornherein festgelegt, was vollkommen in Ordnung ist.
Natürlich wäre, wie fred97 schon sagte, die Einheitsmatrix eine sehr einfache Antwort auf die Frage. Die Nullmatrix übrigens auch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Do 13.02.2014 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
> Dazu hat sich Manu3911 auf einen Eigenwert von vornherein
> festgelegt, was vollkommen in Ordnung ist.
Ja, finde ich auch, doch warum liefert ihr weitere Antwortmöglichkeiten?
Ich bin ja auch direkt auf dieses Ergebnis eingegangen, indem ich es als Matrix zusammengefasst habe.
Wieso widersprecht ihr nicht bei den Äußerungen, dass [mm] $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ [/mm] ein Eigenvektor sei?
Hier stellt sich doch die Frage: "Bei was willst du helfen?". Im ersten Post von Manu3911 hat sie die Fragestellung richtig beantwortet, doch er/sie scheint Schwierigkeiten zu haben, seine/ihre Antwort bewerten zu können. Er/sie kann offensichtlich seine/ihre Antwort nicht kontrollieren.
Helfen denn dann andere Antwortmöglichkeiten?
Bei euren Antworten habe ich eher das Gefühl, ihr arbeitet nach dem Motto "schau einmal, ich kann auch eine Lösung finden" anstatt: "Ich helfe dir, deine Lösung zu kontrollieren und zeige dir, dass sie richtig ist."
Grüße, Ulrich
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> Hallo,
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> > Dazu hat sich Manu3911 auf einen Eigenwert von vornherein
> > festgelegt, was vollkommen in Ordnung ist.
> Ja, finde ich auch, doch warum liefert ihr weitere
> Antwortmöglichkeiten?
Ich verstehe die Frage nicht. Was ist so schlimm daran auf eine einfachere Antwort zusätzlich hinzuweisen?
> Ich bin ja auch direkt auf dieses Ergebnis eingegangen,
Ich nicht?
> indem ich es als Matrix zusammengefasst habe.
ich bin mir ziemlich sicher der Threadersteller hat das auch bereits getan.
> Wieso widersprecht ihr nicht bei den Äußerungen, dass
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}[/mm] ein Eigenvektor sei?
>
Weil das nirgends behauptet wurde. Wo liest du das denn raus?
> Hier stellt sich doch die Frage: "Bei was willst du
> helfen?". Im ersten Post von Manu3911 hat sie die
> Fragestellung richtig beantwortet, doch er/sie scheint
> Schwierigkeiten zu haben, seine/ihre Antwort bewerten zu
> können. Er/sie kann offensichtlich seine/ihre Antwort
> nicht kontrollieren.
Das sieht noch dem letzten Post des threaderstellers aber doch ganz anders aus. Es wurde kontrolliert und verstanden.
> Helfen denn dann andere Antwortmöglichkeiten?
>
> Bei euren Antworten habe ich eher das Gefühl, ihr arbeitet
> nach dem Motto "schau einmal, ich kann auch eine Lösung
> finden" anstatt: "Ich helfe dir, deine Lösung zu
> kontrollieren und zeige dir, dass sie richtig ist."
>
Und ich habe das Gefühl, dass ich nach "ich helfe dir die fehler in deinem Beweis zu finden" arbeite und nicht nach "ich rechne irgendwas vor".
> Grüße, Ulrich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Do 13.02.2014 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
ja, du hast recht, mein Antwortverhalten war sicherlich nicht optimal. Auch stimmt, dass der Nullvektor gar nicht als Eigenvektor im Spiel war; sorry, das hatte ich falsch gelesen.
Nun, ich hatte als Frage des Threaderstellers nicht die Aufgabenstellung an sich identifiziert, sondern die Frage, wieso bei der eigenen Lösung die Probe nicht funktioniert.
An diesem Punkt habe ich versucht anzusetzen, weil ich hier von euch relativ wenig Hilfe gesehen habe.
Allerdings ist mein Versuch zu helfen wirklich ein wenig entartet und ein zu langer Text / Rechnerei geworden.
> [...]
> > Ja, finde ich auch, doch warum liefert ihr weitere
> > Antwortmöglichkeiten?
> Ich verstehe die Frage nicht. Was ist so schlimm daran auf
> eine einfachere Antwort zusätzlich hinzuweisen?
Ich bin der Meinung, dass es in diesem Fall verwirrt hat.
> [...]
> > Hier stellt sich doch die Frage: "Bei was willst du
> > helfen?". Im ersten Post von Manu3911 hat sie die
> > Fragestellung richtig beantwortet, doch er/sie scheint
> > Schwierigkeiten zu haben, seine/ihre Antwort bewerten zu
> > können. Er/sie kann offensichtlich seine/ihre Antwort
> > nicht kontrollieren.
> Das sieht noch dem letzten Post des threaderstellers aber
> doch ganz anders aus. Es wurde kontrolliert und
> verstanden.
Ich kann nicht erkennen, dass es verstanden wurde.
Zumal die Einheitsmatrix [mm] $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ [/mm] als Lösung im Spiel ist, die nicht den Eigenvektor [mm] $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ [/mm] hat, oder irre ich mich?
> Und ich habe das Gefühl, dass ich nach "ich helfe dir die
> fehler in deinem Beweis zu finden" arbeite und nicht nach
> "ich rechne irgendwas vor".
Auch wenn ich in diesem Fall deine Hilfe nicht so doll fand, bemerke ich deine Anspielung auf zu viel Rechnerei meinerseits. Dass ich das im Nachhinein nicht mehr so gut finde, habe ich ja bereits geschrieben.
Ich würde so etwas eigentlich eher per PN klären, weil es den Thread unnötig unübersichtlich macht, doch bin ich als "Newbie" noch nicht dafür freigeschaltet.
Grüße, Ulrich
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> Hallo,
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> ja, du hast recht, mein Antwortverhalten war sicherlich
> nicht optimal. Auch stimmt, dass der Nullvektor gar nicht
> als Eigenvektor im Spiel war; sorry, das hatte ich falsch
> gelesen.
>
> Nun, ich hatte als Frage des Threaderstellers nicht die
> Aufgabenstellung an sich identifiziert, sondern die Frage,
> wieso bei der eigenen Lösung die Probe nicht funktioniert.
> An diesem Punkt habe ich versucht anzusetzen, weil ich hier
> von euch relativ wenig Hilfe gesehen habe.
> Allerdings ist mein Versuch zu helfen wirklich ein wenig
> entartet und ein zu langer Text / Rechnerei geworden.
>
> > [...]
> > > Ja, finde ich auch, doch warum liefert ihr weitere
> > > Antwortmöglichkeiten?
> > Ich verstehe die Frage nicht. Was ist so schlimm daran
> auf
> > eine einfachere Antwort zusätzlich hinzuweisen?
> Ich bin der Meinung, dass es in diesem Fall verwirrt hat.
>
>
> > [...]
> > > Hier stellt sich doch die Frage: "Bei was willst du
> > > helfen?". Im ersten Post von Manu3911 hat sie die
> > > Fragestellung richtig beantwortet, doch er/sie scheint
> > > Schwierigkeiten zu haben, seine/ihre Antwort bewerten zu
> > > können. Er/sie kann offensichtlich seine/ihre Antwort
> > > nicht kontrollieren.
> > Das sieht noch dem letzten Post des threaderstellers
> aber
> > doch ganz anders aus. Es wurde kontrolliert und
> > verstanden.
> Ich kann nicht erkennen, dass es verstanden wurde.
> Zumal die Einheitsmatrix
> [mm]\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/mm] als Lösung im Spiel
> ist, die nicht den Eigenvektor
> [mm]\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}[/mm] hat, oder irre ich mich?
Du irrst, und zwar gewaltig. Jeder Vektor, außer dem Nullvektor, ist ein Eigenvektor zur Einheitsmatrix.
> > Und ich habe das Gefühl, dass ich nach "ich helfe dir die
> > fehler in deinem Beweis zu finden" arbeite und nicht nach
> > "ich rechne irgendwas vor".
> Auch wenn ich in diesem Fall deine Hilfe nicht so doll
> fand, bemerke ich deine Anspielung auf zu viel Rechnerei
> meinerseits. Dass ich das im Nachhinein nicht mehr so gut
> finde, habe ich ja bereits geschrieben.
Nein. Ich hab eigentlich klar gesagt was mich stört:
Deine Antwort ist keine Antwort auf die gestellte Frage, sondern auf eine andere.
Und es gab bereits eine Rückmeldung des Threaderstellers, dass es jetzt geklärt sei.
> Ich würde so etwas eigentlich eher per PN klären, weil es
> den Thread unnötig unübersichtlich macht, doch bin ich
> als "Newbie" noch nicht dafür freigeschaltet.
> Grüße, Ulrich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Do 13.02.2014 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
> Du irrst, und zwar gewaltig. Jeder Vektor, außer dem
> Nullvektor, ist ein Eigenvektor zur Einheitsmatrix.
Oh, Mann, manchmal habe ich echt Tomaten auf den Augen! Gut, dass du den Überblick behältst!
> Nein. Ich hab eigentlich klar gesagt was mich stört:
> Deine Antwort ist keine Antwort auf die gestellte Frage,
> sondern auf eine andere.
> Und es gab bereits eine Rückmeldung des Threaderstellers,
> dass es jetzt geklärt sei.
Ich glaube wir sprechen aneinander vorbei: ich vermische meine Antworten von 12:35 und 12:26 und du beziehst dich ausschließlich auf die Antwort von 12:35.
Ja, um 12:35 habe ich auf etwas geantwortet, was nicht gefragt wurde.
Grüße, Ulrich
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> Hallo,
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> > Du irrst, und zwar gewaltig. Jeder Vektor, außer dem
> > Nullvektor, ist ein Eigenvektor zur Einheitsmatrix.
> Oh, Mann, manchmal habe ich echt Tomaten auf den Augen!
> Gut, dass du den Überblick behältst!
>
>
>
> > Nein. Ich hab eigentlich klar gesagt was mich stört:
> > Deine Antwort ist keine Antwort auf die gestellte
> Frage,
> > sondern auf eine andere.
> > Und es gab bereits eine Rückmeldung des
> Threaderstellers,
> > dass es jetzt geklärt sei.
> Ich glaube wir sprechen aneinander vorbei: ich vermische
> meine Antworten von 12:35 und 12:26 und du beziehst dich
> ausschließlich auf die Antwort von 12:35.
> Ja, um 12:35 habe ich auf etwas geantwortet, was nicht
> gefragt wurde.
Und genau um die geht es hier: Wird sind im Baum darunter.
Meinen Senf zur anderen Antwort hab ich in einer Mitteilung zu dieser Antwort gegeben.
> Grüße, Ulrich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Do 13.02.2014 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
dein Ergebnis stimmt. Wenn ich es in einer Matrix zusammenfasse, dann hast du folgende Matrix gefunden: [mm] $\begin{pmatrix}A & -A \\ -A &A\end{pmatrix}$
[/mm]
Damit lassen sich die Eigenwerte (ich glaube, dass hier dein Fehler herrscht) aus dieser Gleichung bestimmen: [mm] $\left[\begin{pmatrix}A & -A \\ -A &A\end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} [/mm] = 0$
Jetzt die Determinante:
$det [mm] \left(\begin{pmatrix}A & -A \\ -A &A\end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix}\right) [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrightarrow (A-\lambda)^2-A^2 [/mm] = 0$
Nach [mm] $\lambda$ [/mm] aufgelöst ergibt [mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$, [mm] $\lambda_2 [/mm] = 2A$
Bestimmung des zu [mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$ zugehörigen Eigenvektors:
[mm] &\begin{pmatrix}(A-\lambda_1) & -A \\ -A &(A-\lambda_1)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
resultiert in das GLS:
$A [mm] x_1 [/mm] - A [mm] x_2 [/mm] = 0$
$-A [mm] x_1 [/mm] + A [mm] x_2 [/mm] = 0$
Da die Länge eines Eigenvektors nicht wichtig (beliebig) ist, gibt es unendlich viele Lösungen (Gleichungen sind linear abhängig - das ist typisch!). Du bestimmst einfach einen Wert z.B. (beliebig) [mm] $x_1 [/mm] = 2$ und erhälst als [mm] Ergebnis:$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}$
[/mm]
Normierung des Eigenvektors:
Jetzt normierst du den Eigenvektor (er bekommt die Länge 1):
[mm] $\frac{1}{\sqrt{2^2+2^2}}\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
Und wie du siehst stimmt dein Ergebnis!
Grüße, Ulrich
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Hallo,
der Vektor (1,1) ist bzgl. der euklidischen Norm nicht normiert sondern hat die Länge [mm] $\sqrt{2}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 13.02.2014 | | Autor: | aplaq |
Hallo,
MaslanyFanclub hat mich erwicht  :
In meinem letzten Post habe ich von Normierung des Eigenektors geschrieben. Die Berechnung ist falsch:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{2^2+2^2}}\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
Jedoch stimmt die Richtung des Vektors. Diese ändert sich auch nicht bei Multiplikation mit [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm] Und so kommt man zu dem Ergebnis, dass wenn [mm] $\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}$ [/mm] ein Eigenvektor ist, der Vektor [mm] &\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$ [/mm] ebenfalls ein Eigenvektor ist.
Grüße, Ulrich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Do 13.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Gehen wir die Sache doch mal ganz konsequent an:
gesucht ist eine Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] mit der Eigenschaft:
(*) es gibt ein [mm] \lambda \in \IR [/mm] mit: [mm] \pmat{ a & b \\ b & c }*\vektor{1 \\ 1}= \lambda*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Aus (*) folgen die Gleichungen
[mm] \lambda=a+b [/mm] und [mm] \lambda=c+b.
[/mm]
Folglich ist a=c und [mm] \lambda=a+b. [/mm] Somit:
[mm] \pmat{ a & b \\ b & a }*\vektor{1 \\ 1}= (a+b)*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Fazit: ist $A$ eine symmetrische $2 [mm] \times [/mm] 2$ - Matrix, so gilt:
$A$ besitzt den Eigenvektor $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] \gdw [/mm]
$A$ hat die Gestalt [mm] $A=\pmat{ a & b \\ b & a }$
[/mm]
FRED
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