Eigenvektoren komplexer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Do 28.06.2007 | | Autor: | DerD85 |
hallihallo!
im rahmen einer aufgabe aus der theoretischen physik benötige ich die eigenwerte u. -vektoren folgender matrix:
[mm]\pmat{ 0 & 1-i \\ 1+i & 0 }[/mm]
die eigenwerte habe ich recht schnell bestimmen können:
[mm]\lambda=\pm \wurzel{2} [/mm]
wenn ich auf gewohntem (reellem) wege versuche, die eigenvektoren zu bestimmen ([mm]A\vec{x}=\lambda\vec{x}[/mm]) erhalte ich als lösung nur den nullvektor (der ja nicht erlaubt ist).
was ist mein fehler? muss ich bei eigenwertproblemen komplexer matrizen irgendetwas besonderes beachten, an das ich nicht gedacht habe?
vielen dank für eure hilfe
dennis
PS:
ich habe die frage auch im bereich "physik" gestellt, wegen des bereichs und des abschreckenden titels spin1/2-teilchen eigenzustände denke ich aber, dass die mehrzahl von euch mathematikern es sich nicht angeguckt hat ;) - deshalb hier nochmal anders formuliert ;)
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Hallo Dennis,
du hast dich wohl nur verrechnet.
Die Eigenwerte stimmen, der Ansatz zur Bestimmung der Eigenvektoren auch.
Ich mach's mal für [mm] \lambda_1=\sqrt{2}
[/mm]
Zu Bestimmen ist also der [mm] $kern(A-\sqrt{2}\cdot{}\mathbb{E}_2)$. [/mm] Das sind ja alle Vektoren $x$ mit [mm] $Ax=\sqrt{2}x$
[/mm]
Also [mm] $A-\sqrt{2}\cdot{}\mathbb{E}=\pmat{ -\sqrt{2} & 1-i \\ 1+i &-\sqrt{2} }$
[/mm]
erweiterte Koeffizientenmatrix: [mm] $\pmat{ -\sqrt{2} & 1-i \mid 0\\ 1+i &-\sqrt{2}\mid 0 }$
[/mm]
Hier vllt erstmal [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{} [/mm] Zeile 1. Das gibt:
[mm] $\pmat{ -1 & \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) & | & 0\\ 1+i &-\sqrt{2}& | & 0}$
[/mm]
Hier dann das (1+i)-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile addieren
(bedenke [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)(1+i)=\sqrt{2})
[/mm]
[mm] $\pmat{ -1 & \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) & | & 0\\ 0 & 0 & | & 0 }$
[/mm]
Also eine frei wählbare Variable, nehmen wir [mm] $x_2:=t\in\IR$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\cdot{}t$
[/mm]
Damit ist ein Vektor [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2}\in kern(A-\sqrt{2}\cdot{}\mathbb{E}_2)\gdw x=t\cdot{}\vektor{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\\1}$
[/mm]
Also [mm] $kern(A-\sqrt{2}\mathbb{E}_2)=\langle\vektor{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\\1}\rangle$
[/mm]
Nehmen wir als Eigenvektor irgendeinen Vektor [mm] \ne [/mm] 0 daraus, zB den für $t=1$
Also ein EV zu EW [mm] \sqrt{2} [/mm] ist [mm] \vektor{\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\\1}
[/mm]
Für [mm] \lambda_2=-\sqrt{2} [/mm] dann analog
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Fr 29.06.2007 | | Autor: | DerD85 |
da sag ich nur: VIELEN DANK :)!
werd nachher mal meinen fehler suchen. erweiterte koeffizientenmatrix, gute idee :), sowas vergisst man als physiker schnell wieder, den weg werd ich jetzt öfters nutzen ;)
mfg
dennis
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