Eigenvektorenbestimmung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 06.05.2007 | | Autor: | MaxReeb |
In einer Aufgabe bezüglich Analytic Hierarchy Process sollen wir Gewichtsvektoren zu 2x2 und 3x3 Paarvergleichsmatrizen berechnen. Dabei seien die Gewichtsvektoren nichts weiter als Eigenvektoren.
Matrix:
1 4
1/4 1
Gewichtsvektor nach der Musterlösung
4/5
1/5
Da das lang her ist, das ich Lineare Algebra gehört habe, musste ich erst mal wieder in das Thema einarbeiten. Habe dann herausgefunden das man aus den Eigenwerten die Eigenvektoren errechnet. Für die Eigenwerte sind wiederum Determinantenberechnungen notwendig, etc. .
Habe als Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=0 [/mm] herausbekommen. Nach folgender Formel (A-lambda_max*E)*v=0 kommt nicht das Ergebnis aus der Musterlösung heraus. Hier sind v und 0 als Vektoren zu verstehen.
Hätte jemand einen Tip wo mein Fehler in der Berechnung ist?
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 So 06.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du meinst: [mm] A=\pmat{ 1 & 4 \\ \bruch{1}{4} & 1 }?
[/mm]
Den Begriff Gewichtsvektor habe ich zwar noch nicht gehört, aber
wie man Eigenwerte und deren Vektoren berechnet, kann ich dir sagen.
Eigenwerte berechnest du wie folgt:
[mm] det(A-\lambda\*id_{\IR^{2}})=det\pmat{ (1-\lambda) & 4 \\ \bruch{1}{4} & (1-\lambda) }=0
[/mm]
daraus ergibt sich: [mm] det\pmat{ (1-\lambda) & 4 \\ \bruch{1}{4} & (1-\lambda) }=(1-\lambda)^{2}-\bruch{1}{4}\*4=(1-\lambda)^{2}-1=0
[/mm]
[mm] (1-\lambda)^{2}-1=1-2\*\lambda+\lambda^{2}-1=-2\*\lambda+\lambda^{2}
[/mm]
[mm] -2\*\lambda+\lambda^{2}=0 \gdw \lambda\*(-2+\lambda)=0 \gdw \lambda_{1}=0 [/mm] oder [mm] \lambda_{2}=2
[/mm]
Den Eigenvektor zu den Eigenwerten berechnet man wie folgt:
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] Kern(A-0\*id_{\IR^{2}})=Kern(A)
[/mm]
[mm] =\{x\in\IR^{2} | A\*x=0 \}
[/mm]
[mm] =\{x\in\IR^{2} | x=r\*\vektor{-1 \\ \bruch{1}{4}}, r\in \IR\}
[/mm]
Analog für [mm] \lambda_{2}.
[/mm]
> Dabei seien die
> Gewichtsvektoren nichts weiter als Eigenvektoren.
>
> Matrix:
> 1 4
> 1/4 1
>
> Gewichtsvektor nach der Musterlösung
> 4/5
> 1/5
Das kommt nach meiner Rechnung auch nicht raus? Vielleicht habe ich die Matrixdarstellung falsch verstanden, oder sonst einen Fehler gemacht?
>
>
> Habe als Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=1[/mm] und [mm]\lambda_{2}=0[/mm]
> herausbekommen. Nach folgender Formel (A-lambda_max*E)*v=0
> kommt nicht das Ergebnis aus der Musterlösung heraus. Hier
> sind v und 0 als Vektoren zu verstehen.
>
> Hätte jemand einen Tip wo mein Fehler in der Berechnung
> ist?
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hoffe, es hilft weiter.
MfG
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