Eigenwert Fundamentalsystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:46 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f:\IR^n\rightarrow\IR$ [/mm] stetig differenzierbar und [mm] $x_0=x_0(t)$ [/mm] eine $T$-periodische Lösung der minimalen Periode $T>0$ von
$x'=f(x)$.
Es sei $U(t)$ Fundamentalsystem der sogenannten Variationsgleichung
[mm] $y'=Df(x_0(t))y,$
[/mm]
d.h. die matrixwertige Lösung mit $U(0)=I$. Dabei ist [mm] $Df(x_0(t))$ [/mm] die Jacobi-Matrix von $f$ in [mm] $x_0(t)$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass $U(T)$ den Eigenwert 1 hat. |
Hi!
Ich würde gerne wissen, ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe. Ich bin mir wirklich nicht sicher, weil mir das arg komisch vorkommt...
Da $f(x)$ stetig diffbar ist, ist die Jacobi-Matrix $Df(x)$ stetig. Da [mm] x_0 [/mm] eine differenzierbare Funktion ist, ist sie insbesondere stetig, so dass [mm] $Df(x_0(t))$ [/mm] stetig ist.
Nun ist weiterhin $g(t,y):=D(t)y$ in $y$ stetig partiell differenzierbar, also insbesondere Lipschitzstetig, da die Ableitung aufgrund der Periodizität beschränkt ist, sogar global. Der Definitionsbereich von g ist [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Für jedes AWP von
[mm] $y'=Df(x_0(t))y [/mm] mit [mm] $y(t_0)=y_0$ [/mm] ist die Lösung nach dem Satz von Picard-Lindelöf existent, eindeutig und aufgrund der beschränkten Ableitung auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
Nun löst $U(t)$ diese DGL. Aber für $U(t+T)$ gilt
[mm] $U(t+T)'=Df(x_0(t+T))U(t+T)=Df(x_0(t))U(t+T). [/mm] Also löst auch $U(t+T)$ die Differentialgleichung.
Aufgrund der Eindeutigkeit der Lösung ist $U$ auch periodisch zur Periode $T$ und es gilt für alle [mm] $v\in\IR^n
[/mm]
[mm] $U(T)\cdot v=U(0)\cdot [/mm] v=v$,
also hat $U(T)$ den Eigenwert 1.
Wäre super, wenn jemand was dazu wüsste! Falls es komplett falsch gelöst wurde, hoffe ich, jemand hat einen Gedankenanstoß für mich :)
Ciao!
Harris
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
