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Hallo alle zusammen.
Irgendwie finde ich keinen richtigen Ansatz zu folgender Aufgabe. Wäre nett, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte.
Es sei B [mm] \in Mat_{n \times m} (\IR). [/mm] Zu beweisen ist:
1) Jeder Eigenwert ungleich Null von [mm] BB^{t} [/mm] ist auch Eigenwert von [mm] B^{t}B [/mm] und umgekehrt.
2) Alle Eigenwerte ungleich Null von [mm] BB^{t} [/mm] und [mm] B^{t}B [/mm] haben die gleichen Vielfachheiten.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Vielen Dank schon Mal im Vorraus.
Liebe Grüße. Christina
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Gruß!
Zu b) möchte ich vielleicht einen kleinen Hinweis geben. Die Aussage, dass alle Eigenwerte mitsamt Vielfachheiten übereinstimmen ist doch äquivalent dazu zu sagen, dass beide Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben.
Und zu dem Zweck vielleicht gleich noch ein Tipp: man weiß doch, dass eine Matrix und ihre Transponierte immer dasselbe char. Polynom haben, weil doch gilt:
[mm] det(A) = det(A^t) [/mm]
woraus folgt:
[mm] det(A - xE_n) = det ((A - xE_n)^t) = det(A^t - xE_n^t) = det (A^t - xE_n) [/mm]
Damit sollte es nun ein Leichtes sein, die Aufgabe zu bearbeiten. Warum der Eigenwert 0 allerdings ausgenommen ist, bleibt mir ein Rätsel... für den gilt es doch natürlich auch, das ist sogar noch elementarer zu sehen - Stichwort "Zeilenrang ist gleich Spaltenrang".
Gnometech
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Lars!
> Zu b) möchte ich vielleicht einen kleinen Hinweis geben.
> Die Aussage, dass alle Eigenwerte mitsamt Vielfachheiten
> übereinstimmen ist doch äquivalent dazu zu sagen, dass
> beide Matrizen das gleiche charakteristische Polynom
> haben.
>
> Und zu dem Zweck vielleicht gleich noch ein Tipp: man weiß
> doch, dass eine Matrix und ihre Transponierte immer
> dasselbe char. Polynom haben, weil doch gilt:
>
> [mm]det(A) = det(A^t)[/mm]
>
> woraus folgt:
>
> [mm]det(A - xE_n) = det ((A - xE_n)^t) = det(A^t - xE_n^t) = det (A^t - xE_n)[/mm]
>
>
> Damit sollte es nun ein Leichtes sein, die Aufgabe zu
> bearbeiten.
Ich muss ehrlich zugeben, dass ich es nicht hinbekomme. Tut mir leid, ich sehe gerade nicht, wie ich deinen Tipp verarbeiten soll. Vielleicht stelle ich mich ja saublöd an, aber ich will es jetzt wirklich wissen, wie man die Aufgabe löst. Kannst du es mir vielleicht erklären? Danke!
Liebe Grüße
Stefan
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Gruß!
Sorry, mein Fehler, war auf dem falschen Dampfer. :(
Ich dachte, die betreffenden Matrizen wären transponiert zueinander, waren sie aber gar nicht. Also muß man das doch elementar machen.
Es folgt sogar direkt aus dem Beweis, der für Aufgabe a) angegeben wurde. Dort wurde zu jedem Eigenvektor x zu einem von null verschiedenen Eigenwert ein zweiter Eigenvektor y angegeben, nämlich durch die Definition: [mm] y = B^tx[/mm]. Ebenfalls wurde nachgerechnet, dass für alle x ungleich 0 dieses y dann auch von 0 verschieden ist.
Daraus folgt, dass [mm] B^t[/mm] eingeschränkt auf den Eigenraum zu einem beliebigen Eigenwert ungleich 0 eine Bijektion aufs Bild ist (der Kern ist trivial). Die Abbildung führt in den Eigenraum der anderen Matrix.
Und das umgekehrte Argument zeigt, dass auch die Umkehrung gilt, also sind die Eigenräume isomorph, also haben sie die gleiche Dimension und das ist gerade die "Vielfachheit" des Eigenwertes´.
Habe mich leider doppelt geirrt, denn die Vielfachheit der Nullstelle im char. Polynom ist ja nicht die Dimension des Eigenraumes... das gilt ja nur, wenn diese Nullstelle im Minmalpolynom einfach ist.
Lars
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) noch einmal Gedanken machen.
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