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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo zusammen zum zweiten Mal!
Leider habe ich auch bei dieser Aufgabe Probleme.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Leider weiß ich absolut nicht, was zu tun ist.
Danke schon mal im vorraus für Lösungen, Lösungsansätze, Tips, etc.
Aufgabe:
Es sei f eine lineare Abbildung eines K-Vektorraums in sich.
a) Sind k in K ein Eigenwert von f und n in [mm] \IN, [/mm] so ist [mm] k^{n} [/mm] ein Eigenwert von [mm] f^{n}.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass f höchstens die Eigenwerte 0 und 1 hat, wenn [mm] f^{2} [/mm] = f gilt.
c) Geben Sie eine lineare Abbildung f: [mm] \IZ^{2}_{3} \to \IZ^{2}_{3} [/mm] mit [mm] f^{2} [/mm] = f an, wobei f [mm] \not= [/mm] k * id für alle k in [mm] \IZ_{3}.
[/mm]
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Aufgabe:
>
> Es sei f eine lineare Abbildung eines K-Vektorraums in
> sich.
d.h. für $v, w [mm] \in [/mm] V$ (wenn $V$ den vektorraum bezeichnet) und [mm] $\lambda \in [/mm] K$ gilt:
$f(v + w) = f(v) + f(w)$ sowie [mm] $f(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] f(v)$
> a) Sind k in K ein Eigenwert von f und n in [mm]\IN,[/mm] so ist
> [mm]k^{n}[/mm] ein Eigenwert von [mm]f^{n}.
[/mm]
wenn $k [mm] \in [/mm] K$ ein eigenwert ist, so weißt du nach definition des eigenwertes, dass es dann ein $v [mm] \in [/mm] V, v [mm] \not= [/mm] 0$ gibt, so dass $f(v) = [mm] \lambda [/mm] v$.
ich zeige dir das mal für den fall $n=2$, den allgemeinfall kannst du ja mal probieren, ist aber im prinzip auch nichts neues.
es genügt nun zu zeigen, dass es ein $v [mm] \in [/mm] V, [mm] v\not= [/mm] 0$ gibt, so dass [mm] $f^2(v) [/mm] = k^2v$ (dann ist nämlich [mm] $k^2$ [/mm] eigenwert von [mm] $f^2$). [/mm] wähle als $v$ den eigenvektor (EV) von $f$ zum eigenwert $k$. dann gilt
[m] \begin{array}{rcl} f^2(v) & \stackrel{f^2 = f\circ f}{=} & f(f(v)) \\
& \stackrel{v \textrm{ EV zu } k}{=} & f(k v) \\
& \stackrel{f \textrm{ linear}}{=} & kf(v) \\
& \stackrel{v \textrm{ EV zu } k}{=} & k k v \\
& = &k^2v \end{array} [/m]
also [m]f^2(v) = k^2v [/m] und das war zu zeigen.
probiere mal den allgemeien fall - das geht zum beispiel mit induktion, wobei der induktionsschritt dieser rechnung ähnlich ist und du den induktionsanfang für [m] n = 1 [/m] machen kannst - dort ist nämlich nichts zu zeigen!
> b) Zeigen Sie, dass f höchstens die Eigenwerte 0 und 1 hat,
> wenn [mm]f^{2}[/mm] = f gilt.
nimm einen eigenvektor $v$ zu einem eigenwert. dann muss für diesen natürlich gelten, dass [m] f(v) = f^2(v) [/m] - da die abbildungen ja übereinstimmen. wende aufgabe a) auf [mm] $f^2$ [/mm] an, dann erhälst du eine gleichung für $k$ die nur die lösungen $0$ und $1$ besitzt.
> c) Geben Sie eine lineare Abbildung f: [mm]\IZ^{2}_{3} \to \IZ^{2}_{3}[/mm]
> mit [mm]f^{2}[/mm] = f an, wobei f [mm]\not=[/mm] k * id für alle k in
> [mm]\IZ_{3}.
[/mm]
hier gibt es ja nur recht wenige (und diese lassen sich alle durch matrizen darstellen ...). du kannst ja mal etwas heumprobieren, da sollte sich dann schon eine finden.
wenn du bei irgendeinem teil nicht weiterkommst, kannst du gerne nochmal nachfragen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 18.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallöchen!
> > Aufgabe:
> >
> > Es sei f eine lineare Abbildung eines K-Vektorraums in
>
> > sich.
>
> d.h. für [mm]v, w \in V[/mm] (wenn [mm]V[/mm] den vektorraum bezeichnet) und
> [mm]\lambda \in K[/mm] gilt:
> [mm]f(v + w) = f(v) + f(w)[/mm] sowie [mm]f(\lambda v) = \lambda f(v)[/mm]
>
>
> > a) Sind k in K ein Eigenwert von f und n in [mm]\IN,[/mm] so ist
>
> > [mm]k^{n}[/mm] ein Eigenwert von [mm]f^{n}.
[/mm]
>
> wenn [mm]k \in K[/mm] ein eigenwert ist, so weißt du nach definition
> des eigenwertes, dass es dann ein [mm]v \in V, v \not= 0[/mm] gibt,
> so dass [mm]f(v) = \lambda v[/mm].
> ich zeige dir das mal für den fall [mm]n=2[/mm], den allgemeinfall
> kannst du ja mal probieren, ist aber im prinzip auch nichts
> neues.
>
> es genügt nun zu zeigen, dass es ein [mm]v \in V, v\not= 0[/mm]
> gibt, so dass [mm]f^2(v) = k^2v[/mm] (dann ist nämlich [mm]k^2[/mm] eigenwert
> von [mm]f^2[/mm]). wähle als [mm]v[/mm] den eigenvektor (EV) von [mm]f[/mm] zum
> eigenwert [mm]k[/mm]. dann gilt
>
> [m]\begin{array}{rcl} f^2(v) & \stackrel{f^2 = f\circ f}{=} & f(f(v)) \\
> & \stackrel{v \textrm{ EV zu } k}{=} & f(k v) \\
> & \stackrel{f \textrm{ linear}}{=} & kf(v) \\
> & \stackrel{v \textrm{ EV zu } k}{=} & k k v \\
> & = &k^2v \end{array}[/m]
>
> also [m]f^2(v) = k^2v[/m] und das war zu zeigen.
> probiere mal den allgemeien fall - das geht zum beispiel
> mit induktion, wobei der induktionsschritt dieser rechnung
> ähnlich ist und du den induktionsanfang für [m]n = 1[/m] machen
> kannst - dort ist nämlich nichts zu zeigen!
Meine Lösung:
n=1
[mm] f^{1}(v) [/mm] = f(v) = f(kv) = kf(v) = kv
n=2
Deine Bsp-rechnung.
n=n
[mm] f^{n} [/mm] = [mm] f^{n-1}f(v) [/mm] = [mm] f^{n-1}(kv) [/mm] = [mm] kf^{n-1}(v) [/mm] = [mm] k^{1}* k^{n-1}(v) [/mm] = [mm] k^{n}(v)
[/mm]
Muss ich hier auch noch n+1 [mm] \to [/mm] n angeben?
> > b) Zeigen Sie, dass f höchstens die Eigenwerte 0 und 1
> hat,
> > wenn [mm]f^{2}[/mm] = f gilt.
>
> nimm einen eigenvektor [mm]v[/mm] zu einem eigenwert. dann muss für
> diesen natürlich gelten, dass [m]f(v) = f^2(v)[/m] - da die
> abbildungen ja übereinstimmen. wende aufgabe a) auf [mm]f^2[/mm] an,
> dann erhälst du eine gleichung für [mm]k[/mm] die nur die lösungen [mm]0[/mm]
> und [mm]1[/mm] besitzt.
Meine Lösung:
[mm] f^{2}(v) [/mm] = ... (deine Bsp.-Rechnung) = [mm] k^{2}v [/mm] = f(v) =kv [mm] \Rightarrow k^{2} [/mm] = k
Dies gilt eben nur für k= 1 oder 0.
Der Lösungsweg ist ziemlich kurzgefasst (der Internetraum wird gleich geschloss) aber im Grunde ist es doch die richtige Beweisführung. Oder?
> > c) Geben Sie eine lineare Abbildung f: [mm]\IZ^{2}_{3} \to \IZ^{2}_{3}[/mm]
>
>
> > mit [mm]f^{2}[/mm] = f an, wobei f [mm]\not=[/mm] k * id für alle k in
> > [mm]\IZ_{3}.
[/mm]
>
> hier gibt es ja nur recht wenige (und diese lassen sich
> alle durch matrizen darstellen ...). du kannst ja mal etwas
> heumprobieren, da sollte sich dann schon eine finden.
Zu c) habe ich leider keinen Ansatz. Wie soll das gehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Nette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 19.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> > > Aufgabe:
> > >
> > > Es sei f eine lineare Abbildung eines K-Vektorraums in
>
> >
> > > sich.
> >
> > d.h. für [mm]v, w \in V[/mm] (wenn [mm]V[/mm] den vektorraum bezeichnet)
> und
> > [mm]\lambda \in K[/mm] gilt:
> > [mm]f(v + w) = f(v) + f(w)[/mm] sowie [mm]f(\lambda v) = \lambda f(v)[/mm]
>
> >
> >
> > > a) Sind k in K ein Eigenwert von f und n in [mm]\IN,[/mm] so ist
>
> >
> > > [mm]k^{n}[/mm] ein Eigenwert von [mm]f^{n}.
[/mm]
> >
> > wenn [mm]k \in K[/mm] ein eigenwert ist, so weißt du nach
> definition
> > des eigenwertes, dass es dann ein [mm]v \in V, v \not= 0[/mm]
> gibt,
> > so dass [mm]f(v) = \lambda v[/mm].
> > ich zeige dir das mal für den fall [mm]n=2[/mm], den allgemeinfall
>
> > kannst du ja mal probieren, ist aber im prinzip auch
> nichts
> > neues.
> >
> > es genügt nun zu zeigen, dass es ein [mm]v \in V, v\not= 0[/mm]
>
> > gibt, so dass [mm]f^2(v) = k^2v[/mm] (dann ist nämlich [mm]k^2[/mm]
> eigenwert
> > von [mm]f^2[/mm]). wähle als [mm]v[/mm] den eigenvektor (EV) von [mm]f[/mm] zum
> > eigenwert [mm]k[/mm]. dann gilt
> >
> > [m]\begin{array}{rcl} f^2(v) & \stackrel{f^2 = f\circ f}{=} & f(f(v)) \\
> > & \stackrel{v \textrm{ EV zu } k}{=} & f(k v) \\
> > & \stackrel{f \textrm{ linear}}{=} & kf(v) \\
> > & \stackrel{v \textrm{ EV zu } k}{=} & k k v \\
> > & = &k^2v \end{array}[/m]
>
> >
> > also [m]f^2(v) = k^2v[/m] und das war zu zeigen.
> > probiere mal den allgemeien fall - das geht zum
> beispiel
> > mit induktion, wobei der induktionsschritt dieser
> rechnung
> > ähnlich ist und du den induktionsanfang für [m]n = 1[/m] machen
>
> > kannst - dort ist nämlich nichts zu zeigen!
>
>
> Meine Lösung:
> n=1
> [mm]f^{1}(v)[/mm] = f(v) = f(kv) = kf(v) = kv
ich frage mich, wo das [m] k [/m] in $f(kv)$ auf einemal herkommt? im allgemeien gilt doch $v [mm] \not= [/mm] kv$. statdessen kannst du hier ja benutzen, dass [m] k [/m] eigenwert von $f$ und $v$ der zugehörige eigenvektor ist, also die gleichung $f(v) = kv$ gilt.
probiere damit den induktionsanfang nochmal ...
> n=2
> Deine Bsp-rechnung.
das brauchst du eigentlich gar nicht - den induktionsanfang hast du oben ja schon für $n=1$ gemacht! jedoch ist es natürlich nicht falsch, das hinzuschreiben, wenn du dich damit wohler fühlst.
> n=n
das stimmt so nicht ganz. hier machst du eigentlich schon den induktionsschritt: $ n - [mm] 1\to [/mm] n$, du nimmst also an, dass du die aussage für $n-1$ schon bewiesen hast, dass du also schon weißt, dass [mm] $f^{n-1}(v) [/mm] = [mm] k^{n-1}v$ [/mm] und zeigst mit diesem wissen, dass es auch für $n$ gilt: dass also [mm] $k^{n}$ [/mm] eigenwert von [mm] $f^n$ [/mm] (zum eigenvektor $v$) ist. probiere mal deine rechnung nach diesen gesichtspunkten außeinander zu nehemen (wo setzt du z.b. die induktionsvorraussetzung ein?) - die rechnung stimmt nämlich absolut!
> [mm]f^{n}[/mm] = [mm]f^{n-1}f(v)[/mm] = [mm]f^{n-1}(kv)[/mm] = [mm]kf^{n-1}(v)[/mm] = [mm]k^{1}* k^{n-1}(v)[/mm]
> = [mm]k^{n}(v)
[/mm]
> > > b) Zeigen Sie, dass f höchstens die Eigenwerte 0 und 1
>
> > hat,
> > > wenn [mm]f^{2}[/mm] = f gilt.
> >
> > nimm einen eigenvektor [mm]v[/mm] zu einem eigenwert. dann muss
> für
> > diesen natürlich gelten, dass [m]f(v) = f^2(v)[/m] - da die
> > abbildungen ja übereinstimmen. wende aufgabe a) auf [mm]f^2[/mm]
> an,
> > dann erhälst du eine gleichung für [mm]k[/mm] die nur die lösungen
> [mm]0[/mm]
> > und [mm]1[/mm] besitzt.
>
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]f^{2}(v)[/mm] = ... (deine Bsp.-Rechnung) = [mm]k^{2}v[/mm] = f(v) =kv
> [mm]\Rightarrow k^{2}[/mm] = k
>
> Dies gilt eben nur für k= 1 oder 0.
>
> Der Lösungsweg ist ziemlich kurzgefasst (der Internetraum
> wird gleich geschloss) aber im Grunde ist es doch die
> richtige Beweisführung. Oder?
soweit ich das sehe stimmt das alles! auf die selbe gleichung kam ich auch!
> > > c) Geben Sie eine lineare Abbildung f: [mm]\IZ^{2}_{3} \to \IZ^{2}_{3}[/mm]
>
> >
> >
> > > mit [mm]f^{2}[/mm] = f an, wobei f [mm]\not=[/mm] k * id für alle k in
>
> > > [mm]\IZ_{3}.
[/mm]
> >
> > hier gibt es ja nur recht wenige (und diese lassen sich
>
> > alle durch matrizen darstellen ...). du kannst ja mal
> etwas
> > heumprobieren, da sollte sich dann schon eine finden.
>
>
> Zu c) habe ich leider keinen Ansatz. Wie soll das gehen?
[m] \mathbb{Z}_3 = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2} \} [/m] ist doch der dreielementige körper. [m] \mathbb{Z}_3^2 [/m] ist dann der zweidimensionale vektorraum darüber, die elemente haben also z.b. die form [m] y = \left( \begin{array}{c} \overline{1} \\ \overline{2} \end{array} \right) \in \mathbb{Z}_3^2 [/m]
lineare abbildungen kannst du nun mit matrizen darstellen (hattet ihr bestimmt in der vorlesung!), also kann eine lineare abbildung z.b. durch [m] A = \left( \begin{array}{cc} \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{2} & \overline{2} \end{array} \right) [/m] dargestellt werden. also ist
[m] \begin{array}{cccc} \varphi: & \mathbb{Z}_3^2 & \longrightarrow & \mathbb{Z}_3^2 \\ & x & \longmapsto & Ax \end{array} [/m]
eine lineare abbildung. dabei gilt für oben angegebenes $y$, dass [m] \varphi(y) = Ay = \left( \begin{array}{cc} \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{2} & \overline{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \overline{1} \\ \overline{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \overline{1} \\ \overline{0} \end{array} \right) [/m] - wenn ich mich nicht verrechnet habe.
nun suchst du ein [mm] $\varphi$, [/mm] so dass [m] \varphi^2 = \varphi [/m], dass also [m] A(Ax) = Ax [/m] für alle [m] x \in \mathbb{Z}_3^2 [/m], dann muss aber zwangsläufig [m] A^2 = A [/m] sein. wenn man das nun für obiges $A$ mal nachrechnet erhält man:
[m] A^2 = A \cdot A = \left( \begin{array}{cc} \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{2} & \overline{2} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{2} & \overline{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{0} & \overline{1} \end{array} \right) [/m]
und das ist bestimmt nicht wieder $A$, also funktioniert das mit dieser matrix nicht.
das beste ist du probierst das mal für ein paar $A$ aus. man sieht dann recht schnell, was für eine gestalt $A$ habe muss, damit es funktionieren kann.
probiere mal dein glück, du kannst deine rechnung ja zur kontrolle wieder hier reinstellen oder nochmal nachfragen, falls du nicht weiterkommen solltest!
grüße
andreas
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