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| Aufgabe | Sei f: [mm] K^3 [/mm] --> [mm] K^3 [/mm] die lineare Abbildung gegeben durch f(e1)= -e2 + e3
f(e2)=-e1 -e2 und f(e3)= -e3 (e1,e2,e3) sind die Standardbasen des [mm] K^3.
[/mm]
a) Für K=Q Alle Eigenwerte von f
b) K=C komplexen zahlen alle eigenwerte von f
C) In welchen der beiden Fällen ist f diag. |
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist einfach die Matrix aufzustellen.
Ich habe überlegt die Darstellungsmatrix aufzustellen und erhalte:
[mm]\pmat{0 & -1 & 0\\
-1 & -1 & 0\\
1 & 0 & -1}[/mm]
davon das Charak. Polynom und erhalt EW -1, 0,5[mm]\pm\wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
Aber bei b ist die rede von komplexen Zahlen???? Ist der weg über die Darstellungsmatrix falsch?
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Guten Abend,
> Sei f: [mm]K^3[/mm] --> [mm]K^3[/mm] die lineare Abbildung gegeben durch
> f(e1)= -e2 + e3
> f(e2)=-e1 -e2 und f(e3)= -e3 (e1,e2,e3) sind die
> Standardbasen des [mm]K^3.[/mm]
>
> a) Für K=Q Alle Eigenwerte von f
> b) K=C komplexen zahlen alle eigenwerte von f
> C) In welchen der beiden Fällen ist f diag.
>
> Mein Problem bei dieser Aufgabe ist einfach die Matrix
> aufzustellen.
> Ich habe überlegt die Darstellungsmatrix aufzustellen und
> erhalte:
>
> [mm]\pmat{0 & -1 & 0\\
-1 & -1 & 0\\
1 & 0 & -1}[/mm]
Richtig!
>
> davon das Charak. Polynom und erhalt EW -1,
> 0,5[mm]\pm\wurzel{\bruch{5}{4}}[/mm]
> Aber bei b ist die rede von komplexen Zahlen???? Ist der
Kleiner Schnitzer bei den Eigenwerten.
[mm] \det\pmat{\lambda & 1 & 0\\ 1 & \lambda+1 & 0\\ -1 & 0 & \lambda+1}=\lambda(\lambda+1)^2-(\lambda+1)=(\lambda+1)(\lambda^2+\lambda-1)
[/mm]
Da ist der EW -1 richtig, aber die Nullstellen des quadratischen Polynoms sind [mm] -\frac{1}{2}\pm\sqrt{5/4}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
[/mm]
So wie ich das sehe, sind hier tatsächlich alle Eigenwerte reell.
Gruß,
Kamaleonti
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