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Berechnen Sie die Eigenwerte folgender Matrix:
[mm]\frac{1}{\alpha+\phi}
\pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi}[/mm]
Ich bitte um Hilfe bei der Berechnung der Eigenwerte. Ich bekomme das nicht hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 07.04.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie die Eigenwerte folgender Matrix:
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> [mm]\frac{1}{\alpha+\phi}
\pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi}[/mm]
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> Ich bitte um Hilfe bei der Berechnung der Eigenwerte. Ich
> bekomme das nicht hin.
wo ist Dein Problem?
Gruß,
notinX
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| Aufgabe | <br>
ich habs dreimal versucht und bin dreimal nicht weiter gekommen, irgendwo zwischen determinante bilden und einsetzen in pq-formel. es geht mir nicht so sehr um die lösung, als mehr um den lösungsweg. theoretisch ist der klar:
matrix - eigenvektor * einheitsmatrix.
determinante bilden und null setzen.
umstellen in form: my²-p my - q
und in pq-formel einsetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 07.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> <br>
> ich habs dreimal versucht und bin dreimal nicht weiter
> gekommen, irgendwo zwischen determinante bilden und
> einsetzen in pq-formel. es geht mir nicht so sehr um die
> lösung, als mehr um den lösungsweg. theoretisch ist der
> klar:
>
> matrix - eigenvektor * einheitsmatrix.
nein - schreib' mal das richtige hin!
> determinante bilden und null setzen.
>
> umstellen in form: my²-p my - q
> und in pq-formel einsetzen.
>
>
>
> <br>
Also: Du hast
$ [mm] \frac{1}{\alpha+\phi} \pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} [/mm] $
Die Dinger da sind alles Parameter (feste Variablen!).
EigenWERTE bezeichnen wir mal mit [mm] $t\,$ ($\lambda$ [/mm] ist ja schon vergeben). Ich schreibe mal [mm] $\red{t}\,.$
[/mm]
1.) Wie sieht nun
[mm] $V:=\frac{1}{\alpha+\phi} \pmat{\alpha & -\phi \alpha\\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi}-\pmat{\red{t} & 0 \\ 0 & \red{t}}$
[/mm]
aus?
2.) Was ist [mm] $\det(V)$?
[/mm]
3.) Bestimme die [mm] $\red{t}$ [/mm] für die
[mm] $\det(V)\, =\,0\,.$
[/mm]
D.h. Du startest mit
[mm] $\det(V)\, \stackrel{!}{=}\,0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | <br>
FEHLERHAFT, siehe daher nächste Frage.
Soweit komme ich, weiter nicht:
[mm] \frac{1}{\alpha + \phi} \pmat{ \alpha & -\phi \alpha \\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} - \pmat{t & 0\\0 & t}[/mm]
[mm]\pmat{ \frac{\alpha}{\alpha + \phi} -t & \frac{-\phi \alpha}{\alpha + \phi}\\ \frac{-\lambda}{\alpha+\phi} & \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi }{\alpha + \phi} - t}[/mm]
[mm](\frac{\alpha }{\alpha + \phi} - t) (\frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi} - t)- \frac{\lambda \phi \alpha}{\alpha + \phi}[/mm]
[mm]t ^2 - \frac{\alpha}{\alpha + \phi}*t - \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi}*t + \frac{((1-\lambda)\alpha + \phi)\alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]
Ist das soweit richtig? Mich verwirrt der Nenner des letzten Terms, weil der zum Quadrat ist. |
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Ich sehe gerade, ich habe einen Fehler gemacht, ich versuche die Frage zu editieren.
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| Aufgabe | <br>
Soweit komme ich, weiter nicht:
[mm] \frac{1}{\alpha + \phi} \pmat{ \alpha & -\phi \alpha \\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} - \pmat{t & 0\\0 & t}[/mm]
[mm]\pmat{ \frac{\alpha}{\alpha + \phi} -t & \frac{-\phi \alpha}{\alpha + \phi}\\ \frac{-\lambda}{\alpha+\phi} & \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi }{\alpha + \phi} - t}[/mm]
[mm](\frac{\alpha }{\alpha + \phi} - t) (\frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi} - t)- \frac{\lambda \phi \alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]
[mm]t ^2 - \frac{\alpha}{\alpha + \phi}*t - \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi}*t + \frac{((1-\lambda)\alpha + \phi)\alpha-\lambda \phi \alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]
Ist das soweit richtig? Wie nun weiter? |
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Ich habs lösen können, ich habe jetzt nicht die zeit den rechenweg zu posten, hole das aber nach.
ps: das gleichheitszeichen ist nicht kaputt. =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mi 08.04.2015 | | Autor: | notinX |
Ist die Taste Deiner Tastatur mit dem Gleichheitszeichen kaputt, oder warum hast Du noch kein einziges davon benutzt?
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mi 08.04.2015 | | Autor: | notinX |
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>
> FEHLERHAFT, siehe daher nächste Frage.
Statt eine neue Frage zu erstellen, hättest Du auch einfach diese hier korrigieren können 
>
> Soweit komme ich, weiter nicht:
>
> [mm]\frac{1}{\alpha + \phi} \pmat{ \alpha & -\phi \alpha \\-\lambda & (1-\lambda)\alpha + \phi} - \pmat{t & 0\\0 & t}[/mm]
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> [mm]\pmat{ \frac{\alpha}{\alpha + \phi} -t & \frac{-\phi \alpha}{\alpha + \phi}\\ \frac{-\lambda}{\alpha+\phi} & \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi }{\alpha + \phi} - t}[/mm]
>
>
> [mm](\frac{\alpha }{\alpha + \phi} - t) (\frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi} - t)- \frac{\lambda \phi \alpha}{\alpha + \phi}[/mm]
>
>
> [mm]t ^2 - \frac{\alpha}{\alpha + \phi}*t - \frac{(1-\lambda)\alpha + \phi}{\alpha + \phi}*t + \frac{((1-\lambda)\alpha + \phi)\alpha}{(\alpha + \phi)^2}[/mm]
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> Ist das soweit richtig? Mich verwirrt der Nenner des
> letzten Terms, weil der zum Quadrat ist.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
PQFormel