Eindeutigkeit Polynom beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass jedes Polynom n-ten Grades eine eindeutige Repräsentation der Form
a0 + [mm] a1*x^{1} [/mm] + [mm] a2*x^{2} [/mm] + ... + [mm] an*x^{n}
[/mm]
hat. |
Hallo,
meines Erachtens nach entspricht die Form die es zu beweisen gilt gerade der Definition von Polynomen... aber dann wäre die Aufgabe recht sinnlos ^^
Daher gehe ich mal davon aus, dass mir die tatsächliche Definition von Polynomen nicht bekannt ist.
Hat jemand eine Idee ?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass jedes Polynom n-ten Grades eine eindeutige
> Repräsentation der Form
> a0 + [mm]a1*x^{1}[/mm] + [mm]a2*x^{2}[/mm] + ... + [mm]an*x^{n}[/mm]
> hat.
> Hallo,
>
> meines Erachtens nach entspricht die Form die es zu
> beweisen gilt gerade der Definition von Polynomen... aber
> dann wäre die Aufgabe recht sinnlos ^^
> Daher gehe ich mal davon aus, dass mir die tatsächliche
> Definition von Polynomen nicht bekannt ist.
> Hat jemand eine Idee ?
Ich gehe davon aus, dass es sich um ein reelles Polynom handelt ( dass also gilt: [mm] a_0,a_1,...,a_n \in \IR)
[/mm]
Du sollst zeigen: sind [mm] a_0,a_1,...,a_n, b_0,b_1, ...,b_m \in \IR [/mm] (n,m [mm] \in \IN_0) [/mm] und gilt
[mm] a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n= b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_mx^m [/mm] für jedes x [mm] \in \IR,
[/mm]
so ist n=m und [mm] a_j=b_j [/mm] für j=1,...,n.
Es gibt viele Möglichkeiten, das zu zeigen. Was Ihr hattet und verwenden dürft, kann ich natürlich nicht wissen.
FRED
>
> DANKE
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hm ich weiß was du meinst, stand schlichtweg auf dem schlauch vorher... habe jetzt aber versucht mir einen solchen beweis zu überlegen (erstmal unabhängig davon was wir überhaupt verwenden dürfen) und komme auf keinen grünen zweig..
mir ist es zwar intuitiv klar geworden (wenn ich an einem parameter drehe muss ich mindestens an einem zweiten drehen - das kann dann aber nicht mehr für alle x funktioniere, etc...) aber ich kriege das nicht richtig formuliert...
könnte mir jemand einen kurzen beweis oder eine beweisidee skizzieren damit ich mal sehe wie das grundsätzlich aussehen könnte ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir haben
$ [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n= b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_mx^m [/mm] $ für jedes x $ [mm] \in \IR, [/mm] $
Wir können n= m annehmen, denn ist etwa m<n , so setze [mm] b_{m+1}=...=b_n=0
[/mm]
Sei [mm] p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n [/mm] und q(x)= [mm] b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_nx^n
[/mm]
Da p und q stetig sind liefert der Grenzübergang x [mm] \to [/mm] 0 schon mal: [mm] a_0=b_0
[/mm]
Damit haben wir:
[mm] $a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n= b_1x+b_2x^2+....+b_nx^n [/mm] $ für jedes x $ [mm] \in \IR, [/mm] $
Teilen wir durch x, so bekommen wir:
[mm] $a_1+a_2x+....+a_nx^{n-1}= b_1+b_2x+....+b_nx^{n-1} [/mm] $ für jedes x $ [mm] \in \IR \setminus \{0\}, [/mm] $
Nochmals x [mm] \to [/mm] 0 liefert: [mm] a_1=b_1, [/mm] somit ist
[mm] $a_2x+....+a_nx^{n-1}= b_2x+....+b_nx^{n-1} [/mm] $ für jedes x $ [mm] \in \IR \setminus \{0\}, [/mm] $.
Wir teilen nochmal durch x und erhalten:
[mm] $a_2+....+a_nx^{n-2}= b_2+....+b_nx^{n-2} [/mm] $ für jedes x $ [mm] \in \IR \setminus \{0\}, [/mm] $.
Nochmals x [mm] \to [/mm] 0 liefert: [mm] a_2=b_2
[/mm]
Etc....
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mi 09.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wir haben
>
> [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n= b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_mx^m[/mm]
> für jedes x [mm]\in \IR,[/mm]
>
> Wir können n= m annehmen, denn ist etwa m<n , so setze
> [mm]b_{m+1}=...=b_n=0[/mm]
man kann das dann auch zu [mm] $(a_0 [/mm] - [mm] b_0) [/mm] + [mm] (a_1 [/mm] - [mm] b_1) [/mm] x + [mm] (a_2 [/mm] - [mm] b_2) x^2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] (a_n [/mm] - [mm] b_n) x^n [/mm] = 0$ umformen und daraus folgern [mm] $c_i [/mm] := [mm] a_i [/mm] - [mm] b_i [/mm] = 0$.
Wenn der Koerper (hier ist wohl [mm] $\IR$ [/mm] gemeint) mindestens $n + 1$ Elemente hat, kann man das ganze auch auf ein lineares Gleichungssystem in den [mm] $c_i$ [/mm] zurueckfuehren, wenn man das Polynom in $n + 1$ verschiedenen Elementen des Koerpers auswertet (in [mm] $\IR$ [/mm] etwa $x = 0, 1, 2, [mm] \dots, [/mm] n$).
Man kann schliesslich zeigen, dass dieses LGS der Form $A c = 0$ (mit $c = [mm] (c_0, \dots, c_n)^T$) [/mm] genau die eine Loesung $c = 0$ hat, da $A$ invertierbar ist (da die Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ ist); und aus [mm] $c_i [/mm] = 0$ folgt [mm] $a_i [/mm] = [mm] b_i$.
[/mm]
Der Weg hat den Vorteil, dass er ganz ohne Analysis auskommt. Falls die Aufgabe jedoch im Rahmen einer Analysis-Vorlesung gestellt wurde, sollte sie mit Hilfsmitteln der Analysis geloest werden, also so wie Fred das vorschlaegt 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
>
> > Wir haben
> >
> > [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n= b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_mx^m[/mm]
> > für jedes x [mm]\in \IR,[/mm]
> >
> > Wir können n= m annehmen, denn ist etwa m<n , so setze
> > [mm]b_{m+1}=...=b_n=0[/mm]
>
> man kann das dann auch zu [mm](a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) x + (a_2 - b_2) x^2 + \dots + (a_n - b_n) x^n = 0[/mm]
> umformen und daraus folgern [mm]c_i := a_i - b_i = 0[/mm].
>
> Wenn der Koerper (hier ist wohl [mm]\IR[/mm] gemeint) mindestens [mm]n + 1[/mm]
> Elemente hat, kann man das ganze auch auf ein lineares
> Gleichungssystem in den [mm]c_i[/mm] zurueckfuehren, wenn man das
> Polynom in [mm]n + 1[/mm] verschiedenen Elementen des Koerpers
> auswertet (in [mm]\IR[/mm] etwa [mm]x = 0, 1, 2, \dots, n[/mm]).
>
> Man kann schliesslich zeigen, dass dieses LGS der Form [mm]A c = 0[/mm]
> (mit [mm]c = (c_0, \dots, c_n)^T[/mm]) genau die eine Loesung [mm]c = 0[/mm]
> hat, da [mm]A[/mm] invertierbar ist (da die Determinante [mm]\neq 0[/mm]
> ist); und aus [mm]c_i = 0[/mm] folgt [mm]a_i = b_i[/mm].
>
> Der Weg hat den Vorteil, dass er ganz ohne Analysis
> auskommt. Falls die Aufgabe jedoch im Rahmen einer
> Analysis-Vorlesung gestellt wurde, sollte sie mit
> Hilfsmitteln der Analysis geloest werden, also so wie Fred
> das vorschlaegt
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
die Frage wurde im Unterforum
Forum "Analysis des R1"
gestellt.
Gruß FRED
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