Einschnürungssatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Behauptung:
Es seien f,g,h: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] Funktionen mit f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \le [/mm] h(x) für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}h(x) [/mm] existieren und übereinstimmen, dann existiert auch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x) [/mm] und es gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}h(x) [/mm] |
Hallo,
könnte mir jemand bei folgender Beweisaufgabe helfen?
Ich denke die Behauptung ist richtig. Es müsste sich doch hier um den Einschnürungssatz handeln, oder?
Habe nur leider keine Ahnung wie ich diesen Satz beweisen kann. Auf Wikipedia steht etwas mit [mm] \epsilon-\delta-Kriterium.
[/mm]
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Di 05.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo gratwanderer.
Setze $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] $ = [mm] \rightarrow_{x\rightarrow\infty}h(x)=g [/mm] $
und dann benutze die Ungleichung und das /epsilon- /delta Kriterium. einfach $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=g [/mm] heisst:... dann dasselbe mit h, dann das minimum der 2 /delta und schon hast du eins fuer g. Einfach immer stur mit den Konvergenzdefinitionen arbeiten!
gruss leduart
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Ok, ich setze [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] h(x) = g. Also ist g der Grenzwert beider Funktionen.
Die Ungleichung war ja: f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \le [/mm] h(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in\ \IR
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = g bedeutet:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0, sodass 0 < [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-g| < [mm] \epsilon
[/mm]
dasselbe für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}h(x):
[/mm]
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0, sodass 0 < [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |h(x)-g| < [mm] \epsilon
[/mm]
Leider weiß ich jetzt nicht genau was für ein Minimum gewählt werden soll.
Vielleicht das hier?
min(f(x)-g,h(x)-g) ?
Und wie geht es dann weiter?
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich setze [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] h(x) = g. Also ist g der
> Grenzwert beider Funktionen.
>
> Die Ungleichung war ja: f(x) [mm]\le[/mm] g(x) [mm]\le[/mm] h(x) [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in\ \IR[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] = g bedeutet:
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0, sodass 0 < [mm]|x-x_0|[/mm]
> < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)-g| < [mm]\epsilon[/mm]
Hiervon benötigst Du:
(1) $g- [mm] \epsilon [/mm] < f(x)$ für 0 < [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm] \delta
[/mm]
>
> dasselbe für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}h(x):[/mm]
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0, sodass 0 < [mm]|x-x_0|[/mm]
> < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |h(x)-g| < [mm]\epsilon[/mm]
Hiervon benötigst Du:
(2) $h(x)<g+ [mm] \epsilon$ [/mm] für 0 < [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Aus (1), (2) und f(x) [mm]\le[/mm] g(x) [mm]\le[/mm] h(x) [mm]\forall[/mm] x
folgt dann
$g- [mm] \epsilon [/mm] < g(x)<g+ [mm] \epsilon$ [/mm] für 0 < [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Also
[mm] $|g(x)-g|<\epsilon$ [/mm] für 0 < [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm] \delta
[/mm]
FRED
>
> Leider weiß ich jetzt nicht genau was für ein Minimum
> gewählt werden soll.
>
> Vielleicht das hier?
>
> min(f(x)-g,h(x)-g) ?
>
> Und wie geht es dann weiter?
>
>
> Gruß, Gratwanderer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 10.12.2011 | | Autor: | marula |
Hallo!
Könnte mir bitte jemand den Schritt von |f(x)-g| < [mm] \varepsilon
[/mm]
auf g - [mm] \varepsilon [/mm] < f(x) erklären?
Vielen Dank im Voraus!
Maria
> > < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)-g| < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Hiervon benötigst Du:
>
> (1) [mm]g- \epsilon < f(x)[/mm] für 0 < [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 10.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht schreibst du selbst mal hin, was |f(x)-g| < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ heisst, indem du die Betragsstriche auflöst:
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 10.12.2011 | | Autor: | marula |
Naja das hängt doch davon ab, ob der Inhalt zwischen den Betragsstrichen positiv oder negativ ist... und das weiß ich doch nicht???
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Sa 10.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann schreib die 2 Möglichkeiten auf.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Sa 10.12.2011 | | Autor: | marula |
Alles klar- vielen Dank!!!
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