Elementare Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich suche momentan einen elementaren Beweis für das Verhalten des Logarithmus bei kleinen Werten. Insbesondere soll
[mm] \limes_{x \rightarrow 0}{x^x} [/mm] = 1
gezeigt werden (x > 0 für alle Folgenglieder natürlich). Ich weiß wie man dies mit exp [mm] \circ [/mm] log = id und l'Hospital löst, suche aber einen elementareren Beweis der ohne Differentiation auskommt (also inbesondere kein l'Hospital).
Ich versuche also irgendwie x [mm] \cdot [/mm] log(x) nach oben und unten abzuschätzen und dann das Sandwich-Theorem anzuwenden. Das ist momentan der Ansatz. Leider bekomme ich mit den üblichen Abschätzungen für den Logarithmus die Sache nicht genau genug hin (ich kann den Ausdruck nur durch x - 1 nach unten abschätzen).
Jemand einen Vorschlag mit welchen elementaren Methoden man das Problem noch angehen könnte? Man findet leider immer nur wieder die l'Hospital Methode und die ist ja hinlänglich bekannt.
Danke,
Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0}{x^x}[/mm] = 1
>
> gezeigt werden (x > 0 für alle Folgenglieder natürlich).
>[...]Beweis der ohne
> Differentiation auskommt (also inbesondere kein
> l'Hospital).
Hallo,
letztendlich geht es also ums Berechnen von [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*lnx.
[/mm]
Nachlesen kannst Du das z.B. im Forster, der wandert in mehreren kl. Schritten auf dieses Ergebnis zu:
1. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^x}{x}=\infty
[/mm]
2. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}xe^{-x}=0
[/mm]
3. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}lnx=\infty
[/mm]
4. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{lnx}{x}=0
[/mm]
[mm] 5.\limes_{x\rightarrow 0}x\bruch{lnx}=0
[/mm]
Wegen der Beweise kannst Du wie erwähnt im Forster (sicher auch in anderen Büchern) schauen, ansonsten kannst Du natürlich auch hier nachfragen, wenn Du irgendwo nicht weiterkommst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mi 02.01.2008 | | Autor: | LiquidAcid |
Danke!
Ich werde mal sehen wie der Forster das genau gemacht hat. Manchmal denkt man auch einfach zu kompliziert... 
|
|
|
|
