Ermittlung einer Gleichung f < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine ganzrationale Funktion f 3. Grades hat in A(0/0) die Tangente t(x) = 2x
und in B(-1/0) einen Wendepunkt.
a) Ermitteln sie die Gleichung der Funktion f und skizzieren sie einen
qualitativen Graphen. |
Hallo Leute!
Dies hier ist mein erster Post, also habt bitte etwas Nachsicht ;)!
Soll morgen meiner Freundin eben jene Aufgabe erklären, habe selbst aber
keinerlei Schimmer, wie jene Aufgabe zu lösen wäre bzw. wie ein möglicher Ansatz aussehen könnte!
Würde daher jede Hilfe begrüssen!
Ein dickes Dankeschön im Vorraus,
der :o)li
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo Leute!
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> Dies hier ist mein erster Post, also habt bitte etwas
> Nachsicht ;)!
Na dann hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Eine ganzrationale Funktion f 3. Grades hat in A(0/0) die
> Tangente t(x) = 2x
> und in B(-1/0) einen Wendepunkt.
> a) Ermitteln sie die Gleichung der Funktion f und
> skizzieren sie einen
> qualitativen Graphen.
> Soll morgen meiner Freundin eben jene Aufgabe erklären,
> habe selbst aber
> keinerlei Schimmer, wie jene Aufgabe zu lösen wäre bzw.
> wie ein möglicher Ansatz aussehen könnte!
>
> Würde daher jede Hilfe begrüssen!
Vorrechnen tu ich die jetzt aber nicht.
Aber eine Funktion dritten Grades hat die allgemeine Funktionsgleichung
f(x) = [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm]
Vier Unbekannte, also brauchst du auch vier "Punkte" bzw. vier wissenswerte Sachen. Wie z.B. Extremum, für die du die Ableitung wissen musst.
f'(x) = [mm] 3ax^2+2bx+c [/mm]
> Eine ganzrationale Funktion f 3. Grades hat in A(0/0) die
Daraus kann man die erste Gleichung entnehmen
I f(0) = 0
Bsp:
0 = [mm] a0^3+b0^2+c0^1+d [/mm] => d=0
> Grades hat in A(0/0) die Tangente t(x) = 2x
Die Gerade hat die Steigung 2. Da es eine Tangente ist, hat die Funktion dritten Grades an der Stelle x=0 die selbe Steigung (die die Ableitung angibt)
II f'(0)=2
> und in B(-1/0) einen Wendepunkt.
III f(-1)=0
Wendepunkt bedeutet f''(x)=0 (Vorsicht: Die Ableitung musst du jetzt selber bilden, genau wie das einsetzen der entsprechenden "x-Stellen")
f''(-1) = 0
Ich setze das jetzt mal als bekannt voraus, was Wendestellen / Extrema sind und wie man sie erkennt.
> Ein dickes Dankeschön im Vorraus,
>
> der :o)li
Rückfragen stehen dir offen.
Viele Grüße Disap
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Moin moin!
So, hab' mich leider erst heute an die Lösung machen können, also:
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
f'(x) = [mm] 3ax^2 [/mm] + 2bx + c
1.Bedingung: f(0) = 0 => d = 0
2. Bed.: t(x) = 2x => f'(0) = 2 => c = 2
3. Bed.: besitzt in B(-1/0) einen Wendepunkt
=> f(-1) = 0
=> f"(-1) = 0 => -6a + 2b = 0 => b = 3a
=> -a + 3a - 2 = 0 => a = 1 => b = 3 usw.
Hab' leider mal wieder kein so gutes Gefühl dabei *g*...
Mal wieder vielen Dank, :o)li
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 08.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Moin moin!
Servus.
> So, hab' mich leider erst heute an die Lösung machen
> können, also:
>
> f(x) = [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
> f'(x) = [mm]3ax^2[/mm] + 2bx + c
>
> 1.Bedingung: f(0) = 0 => d = 0
>
> 2. Bed.: t(x) = 2x => f'(0) = 2 => c = 2
>
> 3. Bed.: besitzt in B(-1/0) einen Wendepunkt
>
> => f(-1) = 0
> => f"(-1) = 0 => -6a + 2b = 0 => b = 3a
>
> => -a + 3a - 2 = 0 => a = 1 => b = 3 usw.
>
> Hab' leider mal wieder kein so gutes Gefühl dabei *g*...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ist alles richtig, die Funktion lautet
f(x) = [mm] x^3+3x^2+2x
[/mm]
> Mal wieder vielen Dank, :o)li
>
Vergiss aber nicht, den Graphen noch zu skizzieren in deinem Heft.
Viele Grüße Disap
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