Erwartungswert Binomialvert. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 07.06.2012 | | Autor: | Infty |
Hi!
Ich habe einen Beweis für den Erwartungswert der Binomialverteilung vorliegen den ich überhaupt nicht verstehe.
[mm] E(X)&=\sum_{k=0}^{n} [/mm] k [mm] \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)}\\
[/mm]
[mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} \sum_{k=0}^{n}k \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}\\
[/mm]
[mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} \sum_{k=0}^{n}p \frac{\partial}{\partial p} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}\\
[/mm]
[mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} [/mm] p [mm] \frac{\partial}{\partial p} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}\\
[/mm]
[mm] &=\lim_{q\rightarrow (1-p)} [/mm] p [mm] \frac{\partial}{\partial p} (p+q)^n\\
[/mm]
$=pn$
Wie gilt [mm] K=p\frac{\partial}{\partial p}?
[/mm]
Und wieso ist [mm] \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n
[/mm]
Schonmal vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Do 07.06.2012 | | Autor: | luis52 |
> Und wieso ist [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n[/mm]
>
Moin, hier steht bestimmt
[mm]\sum_{k=0}^{\red{n}} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Do 07.06.2012 | | Autor: | Infty |
ok. danke. Ist wohl ein Fehler in der Lösung hier...
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Hiho,
> Wie gilt [mm]K=p\frac{\partial}{\partial p}?[/mm]
Das macht so keinen Sinn. Links steht ne Zahl, rechts nen Operator.
Aber was gilt, ist:
[mm] $k*p^k [/mm] = [mm] p*k*p^{k-1} [/mm] = [mm] p*\left(k*p^{k-1}\right)$
[/mm]
Und wenn du nun [mm] $k*p^{k-1}$ [/mm] scharf anschaust, erkennst du das als Ableitung von [mm] $p^k$ [/mm] nach p, d.h.: [mm] $k*p^{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dp} p^{k}$
[/mm]
Und damit:
[mm] $k*p^k [/mm] = p* [mm] \bruch{d}{dp} p^{k}$
[/mm]
> Und wieso ist [mm]\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{(n-k)}=(p+q)^n[/mm]
Das folgt sofort aus der Anwendung des ![[]](/images/popup.gif) Binomischen Lehrsatzes.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Infty |
Super vielen Dank! Jetzt ist einiges klar.
Ich hätte allerdings noch eine Frage:
Wieso ist es nötig den Limes zu bilden? Würde es nicht auch eine einfache Ersetzung tun?
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Hallo [mm]\inf[/mm],
> Super vielen Dank! Jetzt ist einiges klar.
>
> Ich hätte allerdings noch eine Frage:
> Wieso ist es nötig den Limes zu bilden? Würde es nicht
> auch eine einfache Ersetzung tun?
Ja, du kannst direkt mit dem Umformen loslegen, das mit dem Limes braucht man nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn du die Umformungen ungefähr so machen willst, wie angegeben, kannst du nicht einfach q=1-p setzen, weil es dann beim Ableiten zu Probleme kommen würde, d.h. du könntest nicht mehr einfach so die partielle Ableitung nach p ins Spiel bringen.
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Hallo,
> Hi!
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> Wenn du die Umformungen ungefähr so machen willst, wie
> angegeben, kannst du nicht einfach q=1-p setzen, weil es
> dann beim Ableiten zu Probleme kommen würde, d.h. du
> könntest nicht mehr einfach so die partielle Ableitung
> nach p ins Spiel bringen.
Man kann das ganz elementar ohne Ableitungsgedöhns umformen.
Man kann k gegen das k in [mm] $\vektor{n\\k}$ [/mm] kürzen, dann np rausziehen aus der Summe, dann bissl Indexverschiebung und man hat mit dem binom. Lehrsatz in der Summe [mm] $(p+(1-p))^{n-1}=1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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