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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die erzeugenden Funktion [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n [/mm] zu den folgenden Folgen [mm] \{a_n\}_{n=0}^\infty:
[/mm]
...
(ii) [mm] a_n [/mm] := [mm] (-0.5)^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] |
Hi,
Meine Lösung:
Laut Wikipedia gilt:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - az} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} (-0.5)^n t^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - -0.5*t} [/mm] = [mm] \frac{1}{1 + 0.5*t}
[/mm]
Nun 1. Frage: Darf ich das hier so machen? Denn die Aufgabe lautet ja eigentlich, dass ich mit [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n [/mm] rechnen soll.
2. Frage: wie kommt man bei Wikipedia auf diese Formel? (Hab dazu keine Herleitung gefunden...)
3. Frage: Wie geht man denn so allgemeiner an eine solche Aufgabe ran? Versucht man den Ausdruck [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n [/mm] so entsprechend umzuformen,dass eine bekannte Form(siehe z.B: dann Wikipedia) dabei rauskommt oder muss man sich da bei jeder Aufgabe was anderes überlegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mi 10.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die erzeugenden Funktion
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n[/mm] zu den folgenden Folgen
> [mm]\{a_n\}_{n=0}^\infty:[/mm]
> ...
> (ii) [mm]a_n[/mm] := [mm](-0.5)^n[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm]
> Hi,
> Meine Lösung:
> Laut Wikipedia gilt:
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a^n z^n[/mm] = [mm]\frac{1}{1 - az}[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (-0.5)^n t^n[/mm] = [mm]\frac{1}{1 - -0.5*t}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{1 + 0.5*t}[/mm]
>
> Nun 1. Frage: Darf ich das hier so machen?
Ja
> Denn die Aufgabe
> lautet ja eigentlich, dass ich mit
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n[/mm] rechnen soll.
> 2. Frage: wie kommt man bei Wikipedia auf diese Formel?
Sei $q [mm] \not=1$. [/mm] Dann ist (das kann man induktiv zeigen):
[mm] \summe_{i=0}^{n}q^i [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Für $|q|<1$ gilt [mm] $q^n \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$, [/mm] somit
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
> (Hab dazu keine Herleitung gefunden...)
> 3. Frage: Wie geht man denn so allgemeiner an eine solche
> Aufgabe ran? Versucht man den Ausdruck
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n[/mm] so entsprechend
> umzuformen,dass eine bekannte Form(siehe z.B: dann
> Wikipedia) dabei rauskommt oder muss man sich da bei jeder
> Aufgabe was anderes überlegen?
Darauf wirds hinauslaufen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm okay danke schonmal!
Zu Frage 3:
Wie würde denn eine solche Aufgabe aussehen, wo man nicht unbedingt mit den "Standardformeln" weiterkommt bzw. anders gefragt: Wie hat man sowas gelöst, bevor man diese Standardformeln wusste (oder wie ist man auf die im Einzelnen gekommen)?
Ich denke mal in einigen Fällen haben sich halt Mathematiker mehr oder weniger lange damit beschäftigt um bestimmte Formeln zu finden, aber es gibt doch bestimmt auch schwerere Aufgaben für "Otto-Normal" Studenten, z.B. eine solcher Formeln herzuleiten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mi 10.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hm okay danke schonmal!
> Zu Frage 3:
>
> Wie würde denn eine solche Aufgabe aussehen, wo man nicht
> unbedingt mit den "Standardformeln" weiterkommt
Nimm mal
$a_ n= [mm] sin(e^{cos(n^2+e^n- arctan(sin(n)))})$
[/mm]
FRED
> bzw. anders
> gefragt: Wie hat man sowas gelöst, bevor man diese
> Standardformeln wusste (oder wie ist man auf die im
> Einzelnen gekommen)?
> Ich denke mal in einigen Fällen haben sich halt
> Mathematiker mehr oder weniger lange damit beschäftigt um
> bestimmte Formeln zu finden, aber es gibt doch bestimmt
> auch schwerere Aufgaben für "Otto-Normal" Studenten, z.B.
> eine solcher Formeln herzuleiten.
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