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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:12 Do 15.02.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | | Keine konkrete Aufgabe. |
Hallo.
Wie kann ich mit dem Gauß-Algorithmus eine Anzahl an Vektoren x1, x2, ... xn dahingehend überprüfen, ob sie ein Erzeugendensystem des Vektorraums bilden oder nicht; insbesondere gerade dann, wenn die Anzahl der Vektoren größer ist als der Rang, es sich also nicht um eine Basis handelt.
Bei der Basis ist das Überprüfen ja dahingehend einfacher, da man bereits genau weiß, aus wie vielen Vektoren die Basis bestehen muss und man die Vektoren dann nur noch auf lin. Unabhängigkeit hin überprüft. Wie ist das aber beim Erzeugendensystem, wo ja einige Vektoren auch linear abhängig sein können?
Freundliche Grüße,
Leader :)
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Hallo,
mir fiele eine Antwort sicher viel leichter, wenn Du ein konkretes Beispiel hättest - auch ist die Gefahr von Mißverständnissen kleiner.
Beim Erzeugendensystem kommst es ja darauf an: wovon???
Die Vektoren [mm] x_1, x_2, ...x_n [/mm] bilden z.B. immer ein Erzeugendensystem von [mm] .
[/mm]
Die Spalten der Matrix erzeugen immer das Bild der Matrix.
Geht es um andere Räume, muß man gucken, ob sie eine Basis dieses Raumes enthalten oder ob man eine Basis des fraglichen Raumes mit den zur Verfügung stehenden Vektoren ausdrücken kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Do 15.02.2007 | | Autor: | Leader |
Okay, nehmen wir ein einfaches Beispiel.
Der Vektorraum sei [mm] K^3. [/mm] Gegeben seien die 5 Vektoren v1, v2, v3, v4, v5; die Frage ist nun, spannen sie den gesamten Raum auf, also sind sie ein Erzeugendensystem von [mm] K^3. [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
Bei diesen 5 Vektoren kann man vielleicht auch noch durch "Überblicken" herausfinden, ob sie ein Erzeugendensystem sind oder nicht, mich interessiert aber insbesondere, wie ich bei einer solchen Aufgabenstellung allgemein vorgehen muss, also in einer Klausur bzw. bei diversen Vektoren, wo man es dann definitiv nicht mehr überblicken kann.
Liebe Grüße,
Leader.
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> Okay, nehmen wir ein einfaches Beispiel.
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> Der Vektorraum sei [mm]K^3.[/mm] Gegeben seien die 5 Vektoren v1,
> v2, v3, v4, v5; die Frage ist nun, spannen sie den gesamten
> Raum auf, also sind sie ein Erzeugendensystem von [mm]K^3.[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
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> Bei diesen 5 Vektoren kann man vielleicht auch noch durch
> "Überblicken" herausfinden, ob sie ein Erzeugendensystem
> sind oder nicht, mich interessiert aber insbesondere, wie
> ich bei einer solchen Aufgabenstellung allgemein vorgehen
> muss, also in einer Klausur bzw. bei diversen Vektoren, wo
> man es dann definitiv nicht mehr überblicken kann.
Hallo,
Du steckst die Vektoren als Spalten in eine Matrix und bringst sie in Zeilen-Stufenform.
Bei Deinem Beispiel stelltst Du fest, daß der Rang der Matrix =3 ist,
Also sind drei linear unabhängige Vektoren enthalten, und somit erzeugen sie [mm] K^3.
[/mm]
Jetzt kannst Du zum Test mal schauen, wie das Ergebnis aussieht, wenn Du nur zwei linear unabhängige Vektoren hast, sie also nicht den [mm] K^3 [/mm] erzeugen. Nimm z.B.
[mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 2}, \vektor{6 \\ 0 \\ 3}, \vektor{10 \\ 1 \\ 5}, \vektor{4 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1}, \vektor{8 \\ 2 \\ 4}.
[/mm]
Noch ein Wörtchen zum K: ich gehe davon aus, daß wir hier [mm] K=\IR [/mm] haben, und nicht irgendwelche endlichen Körper oder so etwas Exotisches.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 15.02.2007 | | Autor: | Leader |
Vielen Dank. :)
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