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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 04.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie eine euklidische Normalenform der folgenden Quadrik:
[mm] (2x_1)^2 [/mm] + [mm] (x_2)^2+ 4x_2 [/mm] + 1 = 0
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Mein Ansatz:
A = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 } a=\pmat{ 0 \\ 4 } [/mm] c=1
[mm] D=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] mit den Eigenwerten
[mm] V(\lambda_1) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] V(\lambda_2) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] M=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
[mm] =y^T \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] y + (2 [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 \\ 4 } [/mm] y ) + 1
= [mm] (2y_1)^2 [/mm] + [mm] (y_2)^2+ 8y_2 [/mm] + 1 = 0
Das Ergebnis hat aber denke ich irgendwo einen Fehler...muss ich da noch Quadratische Eränzung machen oder so? Oder hab ich schon davor ein Fehler gemacht..
Vielen Dank
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Hallo zocca21,
> Bestimmen sie eine euklidische Normalenform der folgenden
> Quadrik:
>
> [mm](2x_1)^2[/mm] + [mm](x_2)^2+ 4x_2[/mm] + 1 = 0
>
>
> Mein Ansatz:
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 } a=\pmat{ 0 \\ 4 }[/mm] c=1
>
> [mm]D=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit den Eigenwerten
>
> [mm]V(\lambda_1)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]V(\lambda_2)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]M=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]=y^T \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] y + (2 [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 0 \\ 4 }[/mm] y ) + 1
Die 2 ist hier zuviel:
[mm]=y^T \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }y + (\red{2} \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }* \pmat{ 0 \\ 4 } y ) + 1[/mm]
>
> = [mm](2y_1)^2[/mm] + [mm](y_2)^2+ 8y_2[/mm] + 1 = 0
>
> Das Ergebnis hat aber denke ich irgendwo einen
> Fehler...muss ich da noch Quadratische Eränzung machen
Ja, da musst Du noch quadratische Ergänzung machen.
> oder so? Oder hab ich schon davor ein Fehler gemacht..
>
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 04.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
hmm wieso muss die 2 weg?
Ist die Formel nicht:
[mm] y^T [/mm] (Diagonalmatrix)y + (2(Transformationsmatrix) * (a))y + 1
Wie führe ich eine quadr. Ergänzung durch? Gibts da eine Formel?
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Hallo zocca21,
> hmm wieso muss die 2 weg?
Weil Du Dein "a" nicht halbiert hast.
>
> Ist die Formel nicht:
>
> [mm]y^T[/mm] (Diagonalmatrix)y + (2(Transformationsmatrix) * (a))y +
> 1
>
> Wie führe ich eine quadr. Ergänzung durch? Gibts da eine
> Formel?
Siehe hier: Quadratische Ergänzung
Gruss
MathePower
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Hallo zocca21,
eigentlich könnte man diese Aufgabe auch leicht ohne
den Apparat mit Matrizen und Eigenwerten lösen.
Ich schreibe x und y anstelle von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
$\ [mm] 4\,x^2+y^2+4\,y+1\ [/mm] =\ 0$
$\ [mm] 4\,x^2+\left(y^2+4\,y\ \red{+\,4}\,\right)\blue{-4}+1\ [/mm] =\ 0$
(quadratisch ergänzt, mit Kompensation)
Definition: $ [mm] \overline{y}:=\ [/mm] y+2$
neue Koordinate (Verschiebung in y-Richtung)
$\ [mm] 4\,x^2+\overline{y}^{\,2}-3\ [/mm] =\ 0$
[mm] $\frac{x^2}{\frac{3}{4}}\,+\,\frac{\overline{y}^{\,2}}{3}\ [/mm] -\ 1\ =\ 0$ (normierte Darstellung)
LG Al-Chw.
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