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Hallo,
ich habe eine Frage zur Substitution bei einer Eulerschen DGL.
Nehmen wir z. B.
$x^2y''-xy'+y=0$
mit
z=ln(x) und [mm] x=e^{z}
[/mm]
; dann ist ja
[mm] $\bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{dz}*\bruch{dz}{dx}=\bruch{dy}{dz}*\bruch{1}{x}=\bruch{dy}{dz}*e^{-z}$
[/mm]
So weit, so gut.
Nun komme ich aber bei der 2. Ableitung durcheinander.
[mm] $\bruch{d^2y}{dx^2}=\bruch{d}{dx}*\bruch{dy}{dx}=\bruch{d}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]$
[/mm]
Heißt es nun:
I. [mm] $\bruch{d}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]=\bruch{d}{dz}*\bruch{dz}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]=\bruch{d}{dz}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-2*z}\right]=-2e^{-2z}*\bruch{dy}{dz}+e^{-2z}*\bruch{d^2y}{dz^2}$
[/mm]
,oder:
II. [mm] $\bruch{d}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]=\bruch{d}{dz}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]*\bruch{dz}{dx}=\left[e^{-z}\bruch{dy}{dz}+e^{-z}\bruch{d^2y}{dz^2}\right]*e^{-z}=-e^{-2z}*\bruch{dy}{dz}+e^{-2z}*\bruch{d^2y}{dz^2}$
[/mm]
Oder habe ich mich verrechnet? Eigentlich sollte das ja das gleiche sein.
Vielen Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur Substitution bei einer Eulerschen
> DGL.
>
> Nehmen wir z. B.
>
> [mm]x^2y''-xy'+y=0[/mm]
>
> mit
>
> z=ln(x) und [mm]x=e^{z}[/mm]
>
> ; dann ist ja
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{dz}*\bruch{dz}{dx}=\bruch{dy}{dz}*\bruch{1}{x}=\bruch{dy}{dz}*e^{-z}[/mm]
>
> So weit, so gut.
>
> Nun komme ich aber bei der 2. Ableitung durcheinander.
>
> [mm]\bruch{d^2y}{dx^2}=\bruch{d}{dx}*\bruch{dy}{dx}=\bruch{d}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right][/mm]
>
> Heißt es nun:
>
> I.
> [mm]\bruch{d}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]=\bruch{d}{dz}*\bruch{dz}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]=\bruch{d}{dz}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-2*z}\right]=-2e^{-2z}*\bruch{dy}{dz}+e^{-2z}*\bruch{d^2y}{dz^2}[/mm]
>
> ,oder:
>
> II.
> [mm]\bruch{d}{dx}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]=\bruch{d}{dz}\left[\bruch{dy}{dz}*e^{-z}\right]*\bruch{dz}{dx}=\left[e^{-z}\bruch{dy}{dz}+e^{-z}\bruch{d^2y}{dz^2}\right]*e^{-z}=-e^{-2z}*\bruch{dy}{dz}+e^{-2z}*\bruch{d^2y}{dz^2}[/mm]
>
>
> Oder habe ich mich verrechnet? Eigentlich sollte das ja das
> gleiche sein.
Die unter II. berechnete zweite Ableitung ist die richtige.
>
> Vielen Dank für einen Hinweis.
>
> LG, Martinius
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank für die Antwort.
Könnte mir vielleicht noch jemand zeigen, wo bei I. der Fehler liegt?
Vielen Dank.
Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:55 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Könnte mir vielleicht noch jemand zeigen, wo bei I. der
> Fehler liegt?
Du benutzt doch die Kettenregel, und da wird mit der inneren Ableitung (in deinem Fall [mm] $\bruch{dz}{dx}$) [/mm] am Ende multipliziert.
Also:
[mm] \bruch{d}{dx} f(z(x)) = \left(\bruch{d}{dz} f(z)\right) * \bruch{dz(x)}{dx} = f'(z(x) * z'(x) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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