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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:07 Do 16.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Sei [mm] s_{n}=\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] ; [mm] t_{n}=(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] , n=0,1,2 ...
a) Zeigen Sie mithilfe des Quotientenkriteriums, dass [mm] {s_{n}} [/mm] konvergiert.
b)Zeigen Sie, dass für [mm] 2\le m\le [/mm] n
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n\ge 1+1+\bruch{1}{2!}(1-\bruch{1}{n})+\bruch{1}{3!}(1-\bruch{1}{n})(1-\bruch{2}{n})+\cdots +\bruch{1}{m!}(1-\bruch{1}{n})\cdots (1-\bruch{m-1}{n})
[/mm]
c) Verwenden Sie die Ungleichung von Teil b) für m=n und zeigen Sie, dass [mm] t_{n}\le s_{n} [/mm] für n=2, 3, ...
d) Verwenden Sie die Ungleichung aus Teil b) für m=n und zeigen Sie, dass [mm] s_{m}\le [/mm] t für m=2, 3, ... , wobei [mm] t=\limes_{n\rightarrow\infty}t_{n}
[/mm]
e) Folgern Sie, dass s=t gilt, wobei [mm] s=\limes_{n\rightarrow\infty}s_{n} [/mm] |
Hallo!
Diese Aufgabe bereitet mir gerade ein paar Probleme.
Also die a) war recht einfach.
[mm] |\bruch{s_{n+1}}{s_{n}}|=|\bruch{k!}{(k+1)!}|=|\bruch{1}{k+1}| \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{k+1}=0<1
[/mm]
Also ist [mm] s_{n} [/mm] absolut konvergent.
Bei der b) habe ich dann schon Probleme. Mein Ansatz war der Beweis mittels vollständiger Induktion.
IA: n=2
[mm] (1+\bruch{1}{2})^2=\bruch{9}{4}=1+1+\bruch{1}{2!}(1-\bruch{1}{2})
[/mm]
IV: Wir nehmen an, dass die Aussage für beliebige aber feste n war ist.
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}=(1+\bruch{1}{n+1})^n*(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm]
Leider endet hier schon mein Gedankengang. Ich komme auf keine passende Umformung, so dass ich die IV verwenden kann. Ich bin auch schon von der anderen Richtung gekommen also:
[mm] 1+1+\bruch{1}{2!}(1-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{3!}(1-\bruch{1}{n+1})(1-\bruch{2}{n+1})+\cdots +\bruch{1}{(n+1)!}(1-\bruch{1}){n})\cdots (1-\bruch{n+1-1}{n+1})
[/mm]
doch auch hier sehe ich nicht wirklich eine Umformung.
Oder wäre hier ein anderer Ansatz besser?
c) Hier lautet der Ansatz doch:
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n\le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] 1+1+\bruch{1}{2!}(1-\bruch{1}{n})+\bruch{1}{3!}(1-\bruch{1}{n})(1-\bruch{2}{n})+\cdots +\bruch{1}{n!}(1-\bruch{1}{n})\cdots (1-\bruch{n-1}{n})\le \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
Dann muss man ja nur noch die Partialsummen vergleichen, oder?
d) Würde wohl ähnlich gehen.
Gruß
Ardbeg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 18.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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