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Eulersche Zahl Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Di 03.07.2012
Autor: eps

Ich suche einen Beweis dafür, dass
[mm] e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n}} [/mm]
Kann mir da vielleicht jemand ein Buch vorschlagen, wo ich den Beweis finde?

Danke schonmal.

        
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Di 03.07.2012
Autor: fred97


> Ich suche einen Beweis dafür, dass
>  [mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n}}[/mm]

Wenn das für fast alle n gelten sollte, so ist das falsch.


Aus  [mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n}}[/mm]  folgt nämlich


[mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}
Für n [mm] \to \infty [/mm] ergibt sich 1 [mm] \le [/mm] 0.

FRED

>  Kann mir da vielleicht jemand ein Buch vorschlagen, wo ich
> den Beweis finde?
>  
> Danke schonmal.


Bezug
                
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 03.07.2012
Autor: eps

Ja du hast recht. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Ich will zeigen, dass
[mm] e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 03.07.2012
Autor: fred97


> Ja du hast recht. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen.
> Ich will zeigen, dass
> [mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]  


[mm]e>\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]  [mm] \gdw e^n> \bruch{n^n}{n!} [/mm]

Hilft das ?

FRED


Bezug
                                
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Di 03.07.2012
Autor: eps

nein, das hilft mir leider auch nicht weiter. gibt es denn kein buch, wo ich den beweis finde?
Vielleicht kann ich verwenden, dass [mm] e=\summe_{k=0}^{infty} \bruch{1}{k!} [/mm] ist?

Bezug
                                        
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Di 03.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

[mm] e^n>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm]

Damit sollte es klappen. :-)


Gruß, Diophant


Bezug
                                                
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Di 03.07.2012
Autor: eps

also so ganz komm ich immer noch nicht drauf.
wir haben
[mm] e^n>(1+\bruch{1}{n})^n=(\bruch{n+1}{n})^n>(\bruch{n}{n})^n>(\bruch{n}{n!})^n [/mm]

aber ich will ja
[mm] e^n>\bruch{n^n}{n!} [/mm]

Vielleicht kann mir da nochmal jemand weiterhelfen?


Stimmt das überhaupt, dass [mm] e^n>(1+\bruch{1}{n})^n? [/mm] wir wissen, dass [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n}). [/mm] Folgt das daraus? Irgendwie steh ich grad aufm schlauch, denn der Limes geht für n gegen [mm] \infty [/mm] ja gegen 1 und [mm] (1+\bruch{1}{n}) [/mm] ist größergleich 1....

Bezug
                                                        
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 03.07.2012
Autor: fred97


> also so ganz komm ich immer noch nicht drauf.
>  wir haben
> [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n=(\bruch{n+1}{n})^n>(\bruch{n}{n})^n>(\bruch{n}{n!})^n[/mm]
>  
> aber ich will ja
> [mm]e^n>\bruch{n^n}{n!}[/mm]
>  
> Vielleicht kann mir da nochmal jemand weiterhelfen?
>  
> Stimmt das überhaupt, dass [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n?[/mm]




> wir
> wissen, dass [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n}).[/mm]
> Folgt das daraus? Irgendwie steh ich grad aufm schlauch,
> denn der Limes geht für n gegen [mm]\infty[/mm] ja gegen 1 und
> [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm] ist größergleich 1....

Es ist [mm] e^x=1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+.....+\bruch{x^n}{n!}+\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}+ [/mm] ....

Für x>0 ist also

[mm] e^x>\bruch{x^n}{n!} [/mm]

Setze jetzt x=n.

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Di 03.07.2012
Autor: eps

dankeschön! das hilft mir wirklich weiter!

Bezug
                                                        
Bezug
Eulersche Zahl Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Mi 04.07.2012
Autor: fred97


> also so ganz komm ich immer noch nicht drauf.
>  wir haben
> [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n=(\bruch{n+1}{n})^n>(\bruch{n}{n})^n>(\bruch{n}{n!})^n[/mm]
>  
> aber ich will ja
> [mm]e^n>\bruch{n^n}{n!}[/mm]
>  
> Vielleicht kann mir da nochmal jemand weiterhelfen?
>  
> Stimmt das überhaupt, dass [mm]e^n>(1+\bruch{1}{n})^n?[/mm]


Ja , das stimmt, denn [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] <e für alle n.



>  wir
> wissen, dass [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n}).[/mm]

Nein, es ist  [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n.[/mm]

FRED

> Folgt das daraus? Irgendwie steh ich grad aufm schlauch,
> denn der Limes geht für n gegen [mm]\infty[/mm] ja gegen 1 und
> [mm](1+\bruch{1}{n})[/mm] ist größergleich 1....


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