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Hallo an alle Mathe-Fans
Habe drei AWP, bei welchen ich Existenz beschränkter Lösungen überprüfen soll!!
1) [mm] y'(t)=1+(y(t))^3, [/mm] y(0)=c
2) [mm] y'(t)=1-(y(t))^3, [/mm] y(0)=c
3) [mm] y'(t)=\wurzel[3]{y(t)}, [/mm] y(0)=c
Bei Dgl 2., 3. etc. Ordnung geht die Bestimmung der beschränkten Lösungen in Abhängigkeit von Anfangswerten über die Eigenwerte. Das bereitet mir keine Probleme. Aber hier ist es gar nicht so einfach auf die Lösung zu kommen.
Ich wollte fragen, ob jemand weiß, wie man aus der Ableitung also y' die Existenz einer/meherer beschränkter Lösungen schließen kann, ohne die Lösung zu berechnen.
Klar ist mir auch,dass die konstanten Lösungen beschränkt sind (Durch Auflösen von y'=0 zu finden)
Ich soll bei diesen drei AWPs überprüfen, ob folgende Aussage stimmt oder nicht:
Jede Lösung der Dgl ist beschränkt auf [mm] \left[ 0 ,\infty \right)
[/mm]
Ich habe mir überlegt, dass wenn y beschränkt ist, so muss es ein Maximum und Minimum geben, d.h y'=0 (und das sind ja die Gleichgewichtspunkte=konstante Lösungen)
Aber bekomme bei
1) [mm] y=\wurzel[3]{-1}=1/2+i(\wurzel{3}/2)
[/mm]
2) y=1
3) y=0
Und weiter weiß ich nicht, wie ich Rückschlüße aus den Ergebnissen ziehen soll, bzw. welche ich ziehen soll?!
Danke schon mal für die Kommentare!!
LG Wi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
nimm bspw. mal die erste DGL und betrachte $y(0) = c [mm] \ge [/mm] 0$.
Was weißt du dann sofort über y' ?
Gruß,
Gono.
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Hallo
Danke schon mal)))
[mm] 1+y^3 [/mm] ist ja monoton steigend (wenn ich mich nicht irre), dann habe ich bei 0 die minimale Steigung, also Mininum.
Da y' permanent steigt, ist dann auch y nach oben unbeschränkt.
Stimmt das?
LG Wi
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Bei der Gleichung 2) ist die Lösung dann analog zu der 1) nach unten unbeschränkt!
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Und bei 3) ist y nach oben unbeschränkt.
Somit kann man sagen, dass bei jedem AWP nicht JEDE Lösung beschränkt ist. Beschränkt sind jeweils die konstanten Lösungen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 So 11.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Und bei 3) ist y nach oben unbeschränkt.
> Somit kann man sagen, dass bei jedem AWP nicht JEDE
> Lösung beschränkt ist. Beschränkt sind jeweils die
> konstanten Lösungen.
Hallo wilhelmine1,
zum Thema kann ich nichts sagen, aber da ist noch etwas ganz Wichtiges:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Einen Tag Mitglied und schon mehr Antworten als Fragen. Respekt!
Gruß Abakus
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Wenn die Antworten noch richtig wären..))) Ich nehme grad das Thema auseinander und weiß es selbst nicht genau.
Danke für das Willkommenheißen !!))))
LG Wi
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Hiho,
nun mal nicht so ungeduldig!
> Da y' permanent steigt, ist dann auch y nach oben unbeschränkt.
Genau.
Wie du in der anderen Mitteilung korrekt erkannt hast, gilt natürlich: $y'(0) = 1 + [mm] y(0)^3 [/mm] = [mm] 1+c^3$.
[/mm]
Aber bevor du nun die anderen Aufgaben bearbeitest, solltest du die erste erstmal fertig machen. Wir haben ja nur [mm] $c\ge [/mm] 0$ bearbeitet.
Die anderen Fälle für c solltest du mal analog untersuchen 
Gruß,
Gono.
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Sorry, hab schon gedacht, dass keiner antworten wird )))
Wenn ich jetzt die AWP für c<0 betrachte, so ändert sich nichts an dem Verhalten der Ableitungsfunkrion y'?!
Da, wo die Funktion nach oben unbeschränkt war bleibt nach oben unbeschränkt (analog nach unten unbeschränkt), das Maximum bzw. Minimum verschiebt sich lediglich, oder stimmt das nicht?
Dass meine Gedanken richtig waren, bin ich seeehr froh!! Danke für die Bestätigung!!!
LG Wi
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Hiho,
> Wenn ich jetzt die AWP für c<0 betrachte, so ändert sich nichts an dem Verhalten der Ableitungsfunkrion y'?!
na doch!
Für für [mm] $c\le [/mm] -1$ wird y' ja negativ und was passiert dann mit y?
Was passiert im Bereich $-1<c<0$? Und was passiert bei $c=-1$?
Gruß,
Gono.
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Hallo Gono,
Für c=-1 hat y im Fall 1) ein Minimum
Für c=1 hat y im Fall 2) ein Maximum
Aber in beiden Fällen ist y unbeschränkt.
Brisant wirds im Fall 3), aber ich sehe nicht den Zusammenhang mit der Konstante c. Ich würde sagen, dass man für Funktionen y<0 komplexe Werte bei y' hat und da jede komplexe Zahl durch Sinus/Cosinus ausdrucken lässt, die ihrerseits beschränkt sind, ist y' beschränkt und somit auch y!
Ich das richtig? Hab das Gefühl, du meinst was anderes....ich übersehe etwas.....
LG Wi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 15.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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[mm] y'(0)=1+c^3
[/mm]
Ich frag mich jetzt, ob ich so wie oben argumentieren darf, y' ist ja von y abhängig?!
LG Wi
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Bitte, irgend jemand!! Ich komm hier nicht weiter. (((
Ich bin am verzweifeln......
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