Existenz uneig. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | Existieren die uneigentlichen Integrale
a) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-x}}{x} dx} [/mm] ? |
Hallo Forum,
mit dem Nachweis der Existenz von Integralen hab ich noch ein paar Probleme.
zu a) würde ich das Integral erstmal zerlegen:
[mm] \limes_{a\rightarrow -\infty} \integral_{a}^{0}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] + [mm] \limes_{a\rightarrow +\infty} \integral_{0}^{a}{e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
Für die Integrale würde ich dann die Substitution u = [mm] x^{2} [/mm] wählen.
Damit hab ich dann dx = [mm] \bruch{du}{2x}.
[/mm]
Dann folgt für das Integral:
[mm] \integral_{a^{2}}^{0}{e^{-u}*\bruch{1}{2x} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x} \integral_{a^{2}}^{0}{e^{-u} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x}*[-1 [/mm] - (- [mm] e^{-a^{2}})]
[/mm]
Für a [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] folgt dann - [mm] \bruch{1}{2x}
[/mm]
und
[mm] \integral_{0}^{a^{2}}{e^{-u}*\bruch{1}{2x} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x} \integral_{0}^{a^{2}}{e^{-u} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x}*[- e^{-a^{2}} [/mm] - (-1)]
Für a [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] folgt dann + [mm] \bruch{1}{2x}
[/mm]
und somit
[mm] \limes_{a\rightarrow -\infty} \integral_{a}^{0}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] + [mm] \limes_{a\rightarrow +\infty} \integral_{0}^{a}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] = 0
Würde dieses Integral dann existieren?
bei b) würde ich die partielle Integration ansetzen, hab es aber noch nicht zu Ende gerechnet.
Vielen Dank
Gruß Helicase
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Fr 07.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Existieren die uneigentlichen Integrale
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> a) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-x}}{x} dx}[/mm] ?
> Hallo Forum,
>
> mit dem Nachweis der Existenz von Integralen hab ich noch
> ein paar Probleme.
>
> zu a) würde ich das Integral erstmal zerlegen:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow -\infty} \integral_{a}^{0}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{a\rightarrow +\infty} \integral_{0}^{a}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
>
> Für die Integrale würde ich dann die Substitution u =
> [mm]x^{2}[/mm] wählen.
> Damit hab ich dann dx = [mm]\bruch{du}{2x}.[/mm]
>
> Dann folgt für das Integral:
>
> [mm]\integral_{a^{2}}^{0}{e^{-u}*\bruch{1}{2x} du}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2x} \integral_{a^{2}}^{0}{e^{-u} du}[/mm] =
Hallo,
so geht das nicht. x ist immer noch mit u verbunden, also von u abhängig. Somit ist das kein konstanter Faktor, den man mal soeben rausziehen kann.
Da [mm] $f(x)=e^{-x^2}$ [/mm] symmetrisch zur y-Achse ist, gilt [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}=2*\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
Das Integral [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm]lässt sich zerlegen in
[mm]\integral_{0}^{1}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] (das hat eine endliche Größe)
plus
[mm]\integral_{1}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx} [/mm].
Für x>1 ist [mm] $x^2>x$ [/mm] und somit [mm] $-x^2<-x$
[/mm]
und folglich auch [mm] $e^{-x^2}
Wenn nun selbst das (große) [mm]\integral_{1}^{\infty}{e^{-x} dx} [/mm] einen endlichen Wert hat, dann hat das kleinere [mm]\integral_{1}^{\infty}{e^{-x^2} dx} [/mm] erst recht einen endlichen Wert.
> [mm]\bruch{1}{2x}*[-1[/mm] - (- [mm]e^{-a^{2}})][/mm]
>
> Für a [mm]\to[/mm] - [mm]\infty[/mm] folgt dann - [mm]\bruch{1}{2x}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\integral_{0}^{a^{2}}{e^{-u}*\bruch{1}{2x} du}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2x} \integral_{0}^{a^{2}}{e^{-u} du}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2x}*[- e^{-a^{2}}[/mm] - (-1)]
>
> Für a [mm]\to[/mm] - [mm]\infty[/mm] folgt dann + [mm]\bruch{1}{2x}[/mm]
>
> und somit
>
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow -\infty} \integral_{a}^{0}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{a\rightarrow +\infty} \integral_{0}^{a}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> = 0
>
> Würde dieses Integral dann existieren?
>
> bei b) würde ich die partielle Integration ansetzen, hab
> es aber noch nicht zu Ende gerechnet.
>
> Vielen Dank
>
> Gruß Helicase
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für den Hinweis.
Man sollte vorher genauer die Funktion anschauen .... Das vereinfacht manches.
bei b) komme ich auch nicht weiter.
Das "einfache" Integral für die Funktion f(x) = [mm] \bruch{e^{-x}}{x} [/mm] gibt es ja nicht ?
Wenn ich die Reihendarstellung für f(x) nutze habe ich
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{x}*\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{-x^{n}}{n!}dx}
[/mm]
auch hier komme ich nicht weiter ....
Gruß Helicase
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 09.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Ich sehe gerade, die Funktion umgeschrieben ergibt:
f(x) = [mm] x^{-1}*e^{-x} [/mm]
mit dem Integral folgt
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{-1}*e^{-x} dx}
[/mm]
und das ist doch das "Euler-Integral" ?
Das hat die Form:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{n}*e^{-t} dx} [/mm] = n!
bzw.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*e^{-t} dx} [/mm] = (x-1)!
Wäre das meine Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 So 09.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich empfehle Dir das:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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