Existenzbeweis (B^k = A) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute!
Dieses Forum ist wirklich gut!!!
Folgendes Problem:
n>=1, k>=1 und A
A in GLn([mm]\IC [/mm])
z.z.: 1) Es existiert ein B in GLn([mm]\IC [/mm])
mit [mm] B^k [/mm] = A
2) Muss A notwendig invertierbar sein?
Da wir gerade die Jordannormalform machen könnte es was damit zu tun haben, aber ich komme momentan überhaupt nicht auf den Dreh.
Mir würde auch schon ein guter Tipp helfen, es muß nicht notwendigerweise eine komplette Lösung sein :)...
Meine Überlegungen bisher sind wie folgt:
A, B sind trigonalisierbar. Außerdem weiß ich, dass man die Jordansche Normalform von [mm] B^k [/mm] erhält in dem man in der Jordanschen Normalform von B die Diagonalelemente durch die k-ten Potenzen ersetzt.
Wäre über Hilfe sehr dankbar.
MfG
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Du hast geschrieben, dass A aus GLn (C) ist.
Das GLn bedeutet doch general linear group, oder?
Wenn ja, dann ist A invertierbar.
Weil das nämlich dann aus der Bedingung folgt, dass A aus GLn ist.
A aus Gln <=> A ist invertierbar
Bedeutet nun das GLn general linear group?
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Hallo Dana!
Ja, GLn soll general linear Group heißen. Damit sind A und B erstmal invertierbar.
Man soll aber desweitern als Zusatzfrage untersuchen, ob die Bedingung, dass A invertierbar ist, nicht auch wegfallen darf.
Schönen Abend noch,
Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 So 27.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Markus!
> Folgendes Problem:
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> n>=1, k>=1 und A
> A in GLn([mm]\IC [/mm])
> z.z.: 1) Es existiert ein B in GLn([mm]\IC [/mm])
>
> mit [mm]B^k [/mm] = A
Es sei $J$ die Jordansche Normalform von $A$. Dann gibt es eine Matrix $C [mm] \in GL_n(\IC)$ [/mm] mit
[mm] $CAC^{-1} [/mm] = J$.
Es sei [mm] $\tilde{J}$ [/mm] die Matrix, bei der die Diagonalelemente von $J$ durch $k$-te Wurzeln ersetzt wurde. Dann hat, wie du es ja selber erwähnt hast, [mm] $\tilde{J}^k$ [/mm] die Matrix $J$ als Jordansche Normalform, d.h. es gibt eine Matrix $D [mm] \in GL_n(\IC)$ [/mm] mit
[mm] $D\tilde{J}^kD^{-1} [/mm] = J$.
Ich setze jetzt:
[mm] $B:=C^{-1}D\tilde{J}D^{-1}C$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $B^k [/mm] = [mm] (C^{-1}D\tilde{J}D^{-1}C)^k [/mm] = [mm] C^{-1}D\tilde{J}^kD^{-1}C [/mm] = [mm] C^{-1}JC [/mm] = A$,
was zu zeigen war.
Wenn $A$ invertierbar ist, dann auch $J$, dann auch [mm] $\tilde{J}$, [/mm] dann aber auch $B$.
> 2) Muss A notwendig invertierbar sein?
Ich denke nicht, jedenfalls sehe ich nicht, wo ich das gebraucht hätte (ganz sicher bin ich mir aber nicht). In dem Fall, wo $A$ nicht invertierbar ist, ist dann aber auch $B$ nicht invertierbar.
Liebe Grüße
Stefan
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