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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Sa 03.01.2004 | | Autor: | Hans |
Hallo ihr Lieben, ich hoffe, ihr seid alle gut ins neue Jahr gerutscht!
und dann waer da noch eine Frage zur Exponentialreihe.
Zeige, dass fuer alle komplexen Zahlen gilt:
konjugiert (exp(z)) = exp (konjugiert z)
also einmal das ganze konjugiert, einmal exp von einem komplex konjugierten z.
vielen dank schonmal
gruesse
hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Sa 03.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hans,
auf von mir ein "Frohes Neues!".
> Zeige, dass fuer alle komplexen Zahlen gilt:
>
>
> konjugiert (exp(z)) = exp (konjugiert z)
hier würde ich aber schon gerne wissen, an welcher Stelle genau deine Probleme liegen.
Zur Sicherheit hier noch mal die Grundbegriffe und -eigenschaften:
Die Exponentialreihe ist ja definiert als
[mm] \exp z = \sum_{n=0}^\infty\limits \frac{z^n}{n!}\limits [/mm]
Die komplexe Konjugation hat u.a. folgende Eigenschaften:
[mm] z,w \in \IC [/mm]
(a) [mm] \overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w} [/mm]
(b) [mm] \overline{zw} = \overline{z} * \overline{w} [/mm]
Du sollst also zeigen, dass
[mm] \overline{\sum_{n=0}^\infty\limits \frac{z^n}{n!}\limits} = \sum_{n=0}^\infty\limits \frac{\overline{z}^n}{n!}\limits [/mm]
Da bekommst du doch wenigstens einen Ansatz hin, oder?
(Eine Stelle in der Rechnung ist nicht so trivial, wie die anderen, da muß man ein bißchen überlegen und argumentieren...)
Bin gespannt auf deine ersten Versuche,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 08.01.2004 | | Autor: | Hans |
Hallo marc.
Ich konnte leider nicht frueher antworten. Tut mir auch leid, dass ich keine präzise Frage dazu formuliert hab. Also,
ich hab jetzt per Induktion gezeigt, dass man die komplexe konjugation von dem z ueber [mm] z^n [/mm] und letztendlich auch ueber die summe ziehen kann. ich bin mir aber nicht sicher, ob dadurch auch die werte der reihen im unendlichen gleich sind, oder ob ich das noch naeher begruenden beweisen muss. welche stelle meintest du mit nicht trivial.
ciao
hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Do 08.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hans,
> Ich konnte leider nicht frueher antworten. Tut mir auch
> leid, dass ich keine präzise Frage dazu formuliert hab.
Doch die Frage war doch präzise. Ich hatte nur einen kleinen Ansatz vermisst...
> Also,
> ich hab jetzt per Induktion gezeigt, dass man die komplexe
> konjugation von dem z ueber [mm] z^n [/mm] und letztendlich auch ueber
> die summe ziehen kann. ich bin mir aber nicht sicher, ob
> dadurch auch die werte der reihen im unendlichen gleich
> sind, oder ob ich das noch naeher begruenden beweisen muss.
> welche stelle meintest du mit nicht trivial.
Genau diese Stelle meinte ich; sie ist natürlich auch trivial, aber nicht ganz so trivial wie die anderen Umformungen.
Es gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z_n [/mm]
[mm]= \summe_{n=0}^{\infty} \left( a_n + i*b_n \right) [/mm]
[mm]= \summe_{n=0}^{\infty} a_n + i*\summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm], mit [mm] z_n\in\IC, a_n,b_n\in\IR [/mm] da eine Folge komplexer Zahlen genau dann konvergiert, wenn die Folge der Real- und Imaginärteile konvergiert.
Deswegen folgt für deine Aufgabe folgende Gleichungskette:
[mm] \overline{\summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}} [/mm]
[mm] = \overline{\summe_{n=0}^{\infty} \left( a_n + i*b_n \right)} [/mm] für zwei Folgen [mm] (a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN} [/mm] reeller Zahlen mit [mm] a_n + i*b_n = \frac{z^n}{n!} [/mm]
[mm] = \overline{\summe_{n=0}^{\infty} a_n + i*\summe_{n=0}^{\infty}b_n } [/mm]
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} a_n - i*\summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm]
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} \left( a_n - i*b_n \right) [/mm]
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} \overline{\frac{z^n}{n!}} [/mm], da [mm] a_n - i*b_n = \overline{\frac{z^n}{n!}} [/mm]
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} \frac{\overline{z}^n}{n!} [/mm] [mm] \Box [/mm]
Ich hoffe, damit ist nun alles klar, was meinst du?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Do 08.01.2004 | | Autor: | Hans |
Hi marc!
Ich finde Argumentation ist sehr gut nachzuvollziehen und einleuchtend. Ich habe einige Zeit an dieser Stelle grgruebelt, aber die Idee [mm] z^n/n! [/mm] in a(n) + b(n) * i zu zerlegen kam mir nicht...ich finde diese Loesung eher genial als trivial.
Danke und viele gruesse
hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Do 08.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hans, lieber Marc,
ich würde gerne noch eine zweite, alternative Antwort (zu Marcs korrekter Antwort) geben.
Bereits gezeigt ist für alle [mm]N \in \IN[/mm]:
[mm]\sum\limits_{n=0}^N \frac{\bar{z}^n}{n!} = \overline{\sum\limits_{n=0}^N \frac{z^n}{n!}}[/mm]
Vollzieht man auf beiden Seiten den Grenzübergang, so folgt:
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\bar{z}^n}{n!} = \lim\limits_{N \to \infty} \overline{\sum\limits_{n=0}^N \frac{z^n}{n!}}[/mm].
Zu zeigen ist also:
(*) [mm] \lim\limits_{N \to \infty} \overline{\sum\limits_{n=0}^N \frac{z^n}{n!}} =
\overline{\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}}.[/mm]
Aber (*) folgt unmittelbar, wenn wir gezeigt haben, dass die komplexe Konjugation
[mm]j(z):= \bar{z}[/mm]
eine stetige Funktion [mm]j : \IC \to \IC[/mm] ist.
Letzteres ist aber klar, denn [mm]j[/mm] ist wegen
[mm]|i(w)-i(z)| = |\bar{w}-\bar{z}| = |\overline{w-z}| = |w-z| \le ||w|-|z||[/mm]
sogar Lipschitz-stetig.
Alles Gute
Stefan
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