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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 15.07.2006 | | Autor: | DAB268 |
Hi.
Mich interessiert gerade mal, was [mm] 0^0 [/mm] ist.
Meine Formelsammlung sagt dazu, dass dies ncith definiert sei. Laut Wikipedia ist dies aber =1, was meines erachtens wohl auch richtiger ist.
Was stimmt denn nun?
MfG
DAB268
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 15.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Problem ist, dass
1.) [mm] 0^{n} [/mm] (n [mm] \in \IR) [/mm] = 0 ist.
2.) [mm] a^{0} [/mm] ist aber als 1 definiert.
Um dieses Problem zu umgehen, definiert man [mm] 0^{0} [/mm] üblicherweise als 1, so dass die zweite Gleichung (die häufiger als erwartet auftaucht) ohne Definitionslücke verwendet werden kann.
Marius
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also es ist eigentlich relativ simple warum hier eine 1 herauskommt.
wir bestimmen zunächst mal den grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^{x} [/mm]
nun wissen wir, dass [mm] x^{x} [/mm] = [mm] e^{x*\ln(x)} [/mm] ist
nun einsetzen --> [mm] \limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln(x)} [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)}
[/mm]
wenn nun x gegen 0 läuft, wird [mm] x*\lnx=0
[/mm]
nun steht da, [mm] e^0 [/mm] und [mm] e^0=1 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
Mit Grenzwerten das richtige Ergebnis auf falsche Weise auszurechnen scheint ja in letzter Zeit ''in'' zu sein.
> also es ist eigentlich relativ simple warum hier eine 1
> herauskommt.
>
> wir bestimmen zunächst mal den grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} x^{x}[/mm]
>
> nun wissen wir, dass [mm]x^{x}[/mm] = [mm]e^{x*ln(x)}[/mm] ist
>
> nun einsetzen --> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}e^{x*ln(x)}[/mm] =
> [mm]e^{\limes_{x\rightarrow\0}x*ln(x)}[/mm]
>
> wenn nun x gegen 0 läuft, wird x*lnx = 0
Die Argumentation ist falsch (bzw. da fehlt eine wichtige Begruendung)! Du kannst auch sagen: $1 = x [mm] \cdot \frac{1}{x}$, [/mm] und fuer $x [mm] \to [/mm] 0$ geht $x$ gegen $0$, also geht das ganze gegen 0 und somit ist $1 = 0$.
Ebenso wie [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] geht [mm] $\ln [/mm] x$ gegen [mm] $-\infty$, [/mm] wenn $x [mm] \to [/mm] 0+$ geht.
Du musst den Grenzwert [mm] $\lim_{x\to0+} [/mm] x [mm] \ln [/mm] x$ also per l'Hospital ausrechnen: [mm] $\lim_{x\to0+} [/mm] x [mm] \ln [/mm] x = [mm] \lim_{x\to0+} \frac{\ln x}{1/x} [/mm] = [mm] \lim_{x\to0+} \frac{1/x}{-1/x^2} [/mm] = [mm] \lim_{x\to0+} [/mm] (-x) = 0$. Und somit gilt [mm] $\lim_{x\to0+} x^x [/mm] = [mm] \exp(\lim_{x\to0+} [/mm] x [mm] \ln [/mm] x) = [mm] \exp(0) [/mm] = 1$.
> nun steht da, [mm]e^0[/mm] und [mm]e^0=1[/mm]
Genau.
Allerdings ist das Problem noch nicht ganz erledigt: Wenn man sich die Funktion $(x, y) [mm] \mapsto x^y$ [/mm] anschaut -- in zwei Variablen! -- (Definitionsbereich ist, sagen wir mal, [mm] $(\R_{\ge 0} \times \IR_{\ge 0}) \setminus \{ (0, 0) \}$; [/mm] hier ist die Funktion stetig) dann existiert der Grenzwert $(x, y) [mm] \to [/mm] (0, 0)$ nicht: Er haengt davon ab, auf welcher Kurve man sich dem Nullpunkt naehert.
Insofern: Man kann so nicht wirklich argumentieren, wenn man [mm] $0^0$ [/mm] definieren will.
Es macht aber schon Sinn, [mm] $0^0 [/mm] = 1$ zu definieren, da sich dann sehr viele in der Mathematik vorkommenden Formeln vereinfachen lassen bzw. viele Spezialfaelle so mit bedacht werden. Allein schon die binomische Formel: $(x + [mm] y)^0 [/mm] = [mm] \binom{0}{0} x^0 y^0$ [/mm] mit $x = -y [mm] \neq [/mm] 0$ wuerde nicht stimmen, wenn [mm] $0^0 \neq [/mm] 1$ waere.
LG Felix
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