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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 13.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist f(X)= [mm] \bruch{1}{2}*e^{2x} -e^x [/mm]
Es sind vier Punkte gegeben, die ein Viereck bilden; nämlich
(0/0) (0 / [mm] -\bruch{1}{2})
[/mm]
(u/0) (u / f(u))
... wobei u < 0 sein soll.
Ferner ist
[mm] A_1 [/mm] = der Flächeninhalt des Vierecks
[mm] A_2 [/mm] = der Flächeninhalt, den die Funktion f mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = u einschließt.
Frage
Für welches u ist [mm] A_1 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] ? |
Moin,
hier komme ich nicht weiter.
Zu [mm] A_1 [/mm] denke ich...
es handelt sich um ein Trapez (für u<0 ist f(u) <0)
Trapezformel: [mm] A_1 [/mm] = [mm] \bruch{c+a}{2}*h
[/mm]
h = | u | => h = -u
c = | f(u) | = - [mm] (\bruch{1}{2}e^{2u} -e^u)
[/mm]
a = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] = - [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*e^{2u}-e^u}{2}*(-u)
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*e^{2u}-e^u}{2}*(u)
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{u}^{0}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [ [mm] \bruch{1}{4}e^{2x} -e^x]
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] - [mm] (\bruch{1}{4}e^{2u} -e^u)
[/mm]
Nun würde ich [mm] A_1 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] setzen, aber dann habe ich sowohl [mm] e^{2u} [/mm] bzw. [mm] e^u [/mm] aber auch u im selben Ausdruck.
Wie kann ich das nach u auflösen???
Oder gibt es einen einfacheren Weg?
Danke und Gruß
Wolfgang
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> Moin,
>
> hier komme ich nicht weiter.
>
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> Zu $ [mm] A_1 [/mm] $ denke ich...
>
> es handelt sich um ein Trapez (für u<0 ist f(u) <0)
>
> Trapezformel: $ [mm] A_1 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{c+a}{2}\cdot{}h [/mm] $
>
> h = | u | => h = -u
Das kannst du machen.
>
> c = | f(u) | = - $ [mm] (\bruch{1}{2}e^{2u} -e^u) [/mm] $
>
> a = $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
>
> $ [mm] A_1 [/mm] $ = - $ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}\cdot{}e^{2u}-e^u}{2}\cdot{}(-u) [/mm] $
stimmt nicht, du hast 1/2=a vergessen...oben im Zähler steht nur c, das a fehlt, denn durch zwei teilst du ja a+b
>
> $ [mm] A_1 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}\cdot{}e^{2u}-e^u}{2}\cdot{}(u) [/mm] $
>
>
> $ [mm] A_2 [/mm] $ = $ [mm] \integral_{u}^{0}{f(x) dx} [/mm] $
>
> $ [mm] A_2 [/mm] $ = [ $ [mm] \bruch{1}{4}e^{2x} -e^x] [/mm] $
>
stimmt
> $ [mm] A_2 [/mm] $ = - $ [mm] \bruch{3}{4} [/mm] $ - $ [mm] (\bruch{1}{4}e^{2u} -e^u) [/mm] $
>
>
> Nun würde ich $ [mm] A_1 [/mm] $ = $ [mm] A_2 [/mm] $ setzen, aber dann habe ich sowohl $ [mm] e^{2u} [/mm] $ bzw. $ [mm] e^u [/mm] $ aber auch u im selben > > > > Ausdruck.
>
> Wie kann ich das nach u auflösen???
>
> Oder gibt es einen einfacheren Weg?
> Danke und Gruß
> Wolfgang
Tut mir leid, ich hatte die Aufgabe falsch verstanden, ich schaus mir noch einmal an
Die Berechnung ist allerdings in der Tat auf diesem Wege immer noch nicht durchzuführen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Adamantin, ich glaube, du liegst mit deinen Flächen falsch, ich habe im Moment aber noch keine Idee zur Berechnung
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Adamantin |
Ach verdammt, ich ging davon aus, dass die Verbindung der unteren Ecken über den Graphen erfolgen soll, an eine gerade Strecke hatte ich nicht gedacht, sorry...dann ist es ein Trapez :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 13.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
Sorry, was soll das?
(u/0) und (0/0) sind zwei Eckpunkte des Vierecks.
(u/f(u)) und (0 / - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] sind zwei Eckpunkte des Vierecks.
(u/0) und (0/0) liegen auf einer Geraden (x-Achse),
(u/0) und (u/f(u)) liegen auf einer Geraden,
(0/0) und (0 / - bruch{1}{2}) liegen ebenfalls auf einer Geraden,
(u/f(u)) und (0 / - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] verbinde ich durch eine Gerade, so entsteht ein Viereck.
Denn, wenn ein Viereck entstehen soll, dann verbinde ich die Punkte durch Geraden, oder nicht?
Also entsteht ein Trapez. (s.o.)
Richtig ist, dass die Fläche [mm] A_2 [/mm] krummlinig begrenzt ist, daher mit Integral gelöst.
Ok, wenn du mir eine Formel nennst, mit der man ein Trapez mit Hilfe eines Integrals lösen kann, gerne... sofern das etwas bringt...
Die Frage ist nach wie vor offen.
Übrigens: Ich habe mir das Ganze schon mal durch eine Skizze veranschaulicht. Danke, Steffi, so sieht es bei mir auch aus!!
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Hallo,
ich glaube, das Problem in dieser Aufgabe sind die Vorzeichen
[mm] \bruch{-(-\bruch{1}{2}+f(-u))}{2}*(-u) [/mm] ist unser Trapez
ich habe im Zähler vor die Klammer - gesetzt, somit haben wir einen positiven Zähler, ebenso -u, so haben wir vom Trapez eine positive Fläche
[mm] -\integral_{-u}^{0}{\bruch{1}{2}e^{2x}-e^{x} dx}
[/mm]
ich habe vor das Integral - gesetzt, somit ist diese Fläche auch positiv
[mm] \bruch{-(-\bruch{1}{2}+f(-u))}{2}*(-u)=-\integral_{-u}^{0}{\bruch{1}{2}e^{2x}-e^{x} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{(-\bruch{1}{2}+f(-u))}{2}*u=-\integral_{-u}^{0}{\bruch{1}{2}e^{2x}-e^{x} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{(-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}e^{-2u}-e^{-u})}{2}*u=-\integral_{-u}^{0}{\bruch{1}{2}e^{2x}-e^{x} dx}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{4}u+\bruch{1}{4}u*e^{-2u}-\bruch{1}{2}u*e^{-u}=-(-\bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}e^{-2u}+e^{-u})
[/mm]
[mm] -u+u*e^{-2u}-2u*e^{-u}=3+e^{-2u}-4*e^{-u}
[/mm]
[mm] 0=e^{-2u}-4*e^{-u}+2u*e^{-u}-u*e^{-2u}+u+3
[/mm]
um diese Nullstelle zu berechnen benutze ich das Newtonverfahren, also mit 1. Ableitung, ich habe mir die Funktion geplottet, Nullstelle liegt bei -0,9643......, also unser u, die Probe habe ich mit gerundeten Werten gemacht, will jetzt mal Excel das Newtonverfahren rechnen lassen
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Fr 13.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
Danke Michael!
... ist übrigens ein Teil einer alten Mathe-LK Abituraufgabe...
lg
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Adamantin |
Dann hätte ich die wohl auch nicht geschafft, denn ich komme wie du nur bis zu Gleichungen mit u im Exponenten und als Basis...aber ich habe immerhin auch verschiedene Ansätze probiert, das Grundproblem bleibt aber erhalten, so dass die Lösung geschätzt werden muss, nichtmal mein Taschenrechner sagt da was *g*
Interessant ist noch, dass du das Trapez tatsächlich per Integral lösen kannst: Indem du einfach die Fläche für die Gerade berechnest, die durch die Punkte P(u/f(u)) und [mm] Q(0/-\bruch{1}{2}) [/mm] berechnest, dass ist eine wunderbare Gerade...*g*
$ [mm] g(x)=\bruch{-\bruch{1}{2}-f(u)}{-u}*(x+u)+f(u) [/mm] $
Das kann man jetzt gerne noch weiter einsetzten, dann streicht sich sogar einmal f(u) weg, aber helfen tut es uns leider auch nicht, so dass mir zum Lösen der Gleichung auch nur das Newton-Verfahren einfällt (oder andere zur NST-Berechnung)
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