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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Lösungen (alle, falls es mehrere gibt) der folgenden Gleichungen: |
Hallo
ich habe hier eine Aufgabe aus dem Bereich Exponentialgleichung, wo ich nicht weiter komme.
Hier mal meine Lösung:
10 * [mm] 3^{x-1} [/mm] - [mm] 9^{x} [/mm] = 1
10 * [mm] 3^{x-1} [/mm] = 1 + [mm] 9^{x}
[/mm]
log(10 * [mm] 3^{x-1}) [/mm] = log(1 + [mm] 9^{x})
[/mm]
log(10) + [mm] log(3^{x-1}) [/mm] = log [1 *(1+ [mm] 9^x [/mm] /1)]
log(10) + [mm] log(3^{x-1}) [/mm] = log(1) + log(1+ [mm] 9^x [/mm] /1)
[mm] log(3^{x-1}) [/mm] - log(1+ [mm] 9^x [/mm] /1) = log(1) - log(10)
[mm] log(3^{x-1}) [/mm] - [mm] log(1+9^x) [/mm] = log(1) - log(10)
(x-1)*log(3) - x*log(10) = log(1) - log(10)
x*(-1*log(3) - log(10)) = log(1) - log(10)
Soweit bin ich gekommen. Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
Den Term auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen könnte man ja noch berechnen. Ich komme mit dem linken Term nicht zurecht.
Meine Fragen sind:
Ist der Lösungsweg soweit korrekt?
Und ist das jetzt das Ergebnis? Oder kann ich es noch weiter ausrechnen?
Wenn ja, wie?
Vielen Dank
geassblom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 18.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Berechnen Sie die Lösungen (alle, falls es mehrere gibt)
> der folgenden Gleichungen:
> Hallo
>
> ich habe hier eine Aufgabe aus dem Bereich
> Exponentialgleichung, wo ich nicht weiter komme.
>
> Hier mal meine Lösung:
>
> 10 * [mm]3^{x-1}[/mm] - [mm]9^{x}[/mm] = 1
>
> 10 * [mm]3^{x-1}[/mm] = 1 + [mm]9^{x}[/mm]
>
> log(10 * [mm]3^{x-1})[/mm] = log(1 + [mm]9^{x})[/mm]
>
> log(10) + [mm]log(3^{x-1})[/mm] = log [1 *(1+ [mm]9^x[/mm] /1)]
>
> log(10) + [mm]log(3^{x-1})[/mm] = log(1) + log(1+ [mm]9^x[/mm] /1)
>
> [mm]log(3^{x-1})[/mm] - log(1+ [mm]9^x[/mm] /1) = log(1) - log(10)
>
> [mm]log(3^{x-1})[/mm] - [mm]log(1+9^x)[/mm] = log(1) - log(10)
>
> (x-1)*log(3) - x*log(10) = log(1) - log(10)
>
> x*(-1*log(3) - log(10)) = log(1) - log(10)
>
>
> Soweit bin ich gekommen. Und jetzt weiß ich nicht mehr
> weiter.
> Den Term auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen
> könnte man ja noch berechnen. Ich komme mit dem linken
> Term nicht zurecht.
>
> Meine Fragen sind:
> Ist der Lösungsweg soweit korrekt?
> Und ist das jetzt das Ergebnis? Oder kann ich es noch
> weiter ausrechnen?
> Wenn ja, wie?
>
> Vielen Dank
> geassblom
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
Hallo,
es ist doch [mm] 9^x= (3^x)^2 [/mm] . Dann hast du eine ganz einfache quadratische Gleichung.
Viele Grüße
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Hallo Axiom96
das ging ja schnell 
Wie meinst du das genau?
Kann ich mir das ganz logarithmieren sparen und deine Gleichung gleich aus der ersten Zeile ableiten?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 18.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom96
> das ging ja schnell
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> Wie meinst du das genau?
> Kann ich mir das ganz logarithmieren sparen und deine
> Gleichung gleich aus der ersten Zeile ableiten?
>
> Viele Grüße
Hallo,
im Prinzip ja. Am Ende musst du natürlich schon einmal den Logarithmus verwenden. Zumächst reicht es aber, wenn du [mm] 10*3^{x-1} [/mm] so umschreibst, dass du [mm] 3^x [/mm] da stehen hast und wie eben bereits gesagt [mm] 9^x [/mm] auch so umschreibst, dass [mm] 3^x [/mm] darin vorkommt. Dann kannst du [mm] 3^x [/mm] substituieren und hast eine quadratische Gleichung (die auch noch schön glatte Ergebnisse liefert).
Viele Grüße
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