Extrema/Wendep. in Kurvenschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Di 12.06.2007 | | Autor: | pascal-g |
| Aufgabe | [mm]f(x)=a*e^{x(1-bx)}\quad[/mm] mit a,b>0
[mm]E (\bruch{1}{4};\ \bruch{1}{2b})\qquad[/mm] Nachweis MAX/MIN!
[mm]W_{1} \left( \bruch{1-\wurzel{2b}}{2b};\ a*e^{\bruch{(1-\wurzel{2b})(1+\wurzel{2b})}{4b}} \right)[/mm]
[mm]W_{2} \left( \quad ?\quad ;\ -||- \right)[/mm] |
Hallo erst mal an alle,
heute muss ich wohl mal wieder meiner Schwester aus der 12. Klasse helfen. Leider liegt bei mir dieses Thema schon etwas zurück, sodass ich mich zwar bemühe, aber doch auf eure Hilfe angewiesen bin.
Wie ihr seht, ist der Lehrer etwas zerstreut. Die obige Aufgabenstellung wurde gar nicht kommentiert und soll einfach als Übung zu einer bevorstehenden Klausur dienen. Ich habe es 1:1 abgeschrieben und habe leider auch nicht mehr Informationen. :-/
Ich weiß nur, dass es sich hierbei um eine Kurvenschar handelt, bei der ein Extremwert und ein Wendepunkt gegeben sind.
Die erste Ableitung müsste doch eigentlich wie folgt aussehen:
[mm]f'(x)=(1-2bx)*a*e^{x(1-bx)}[/mm]
Das wäre doch schon mal richtig, oder?
Aber: Wie soll man bloß auf den Extremwert [mm]\bruch{1}{4}[/mm] kommen? Oder soll man den Extremwert gar nicht berechnen und nur den Hinweis "Nachweis MAX/MIN!" ernst nehmen? Was meint ihr?
Dazu müsste ich doch quasi den Extremwert [mm]\bruch{1}{4}[/mm] in die 2. Ableitung einsetzen und hoffen, dass sich dabei etwas wegkürzt, oder?
Und wie komme ich bloß auf den 2. Wendepunkt?
Ich bin hier wirklich etwas ratlos und hoffe, dass mir hier irgendjemand Licht ins Dunkel bringen kann... :-/
Vielen Dank schon mal für jede Antwort!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Di 12.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast die Funktion [mm] f(x)=a\cdot{}e^{x(1-bx)}.
[/mm]
Zuerst mal zu den Ableitungen:
[mm] f(x)=ae^{x(1-bx)}=ae^{x-bx²}
[/mm]
[mm] f'(x)=a(1-2bx)e^{x-bx²}=(a-2abx)e^{x-bx²}
[/mm]
[mm] f''(x)=-2ab*e^{x-bx²}+(a-2abx)(1-2bx)(e^{x-bx²}=(-2ab+a+2ab²x²)e^{x-bx²}
[/mm]
Nun zu den Estrema:
Notwendig: f'(x)=0
[mm] \gdw (a-2abx)e^{x-bx²}=0
[/mm]
[mm] \gdw (1-2bx)*\underbrace{a*e^{x-bx²}}_{\ne0\forall{x}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1-2bx=0
[mm] \gdw x=\bruch{1}{2b}
[/mm]
Hinreichend:
[mm] f''(\bruch{1}{2b})\ne0
[/mm]
Also:
[mm] f''(\bruch{1}{2b})=(-2ab+a+2ab²\bruch{1}{4b²})e^{\bruch{1}{2b}-\bruch{1}{4b}}=\underbrace{\underbrace{(-2ab+\bruch{3}{2}a)}_{\ne0}\underbrace{e^{\bruch{1}{2b}-\bruch{1}{4b}}}_{>0}}_{\ne0}
[/mm]
Und damit ist [mm] \bruch{1}{2b} [/mm] eine Extremstelle
Bleibt noch die Frage, ob Hoch- oder Tiefpunkt:
[mm] e^{\bruch{1}{2b}-\bruch{1}{4b}} [/mm] ist immer grösser als Null.
Aber
[mm] (-2ab+\bruch{3}{2}a) [/mm] ist nicht immer grösser 0
Also:
[mm] (-2ab+\bruch{3}{2}a)>0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{2}a>2ab
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{4}>b
[/mm]
Also ist für [mm] 0
und damit für [mm] b>\bruch{3}{4} [/mm] ein HP.
Mit den Wendepunkten funktioniert es dann analog, ausser dass [mm] f'''(x)\ne0 [/mm] genügt.
Also:
f''(x)=0
[mm] \gdw (-2ab+a+2ab²x²)e^{x-bx²}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (-2ab+a+2ab²x²)=0
[mm] \gdw x²=\bruch{2b-1}{2b²}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=\red{\pm}\wurzel{\bruch{2b-1}{2b²}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 12.06.2007 | | Autor: | pascal-g |
Wow, das sieht alles sehr einleuchtend aus. Aber diese Aufgabe gehört wohl eher an eine Uni als an eine Schule. Wie auch immer...
Was mich etwas verwirrt, ist, dass du als Extremwert [mm]\bruch{1}{2b}[/mm] herausbekommen hast. Dabei soll es doch nur EINE Extremstelle geben, in der [mm]\bruch{1}{2b}[/mm] der Y-Wert und [mm]\bruch{1}{4}[/mm] der X-Wert ist. Oder sehe ich das falsch?
Ansonsten ist dein Weg nachvollziehbar...
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> Wow, das sieht alles sehr einleuchtend aus. Aber diese
> Aufgabe gehört wohl eher an eine Uni als an eine Schule.
> Wie auch immer...
>
> Was mich etwas verwirrt, ist, dass du als Extremwert
> [mm]\bruch{1}{2b}[/mm] herausbekommen hast. Dabei soll es doch nur
> EINE Extremstelle geben, in der [mm]\bruch{1}{2b}[/mm] der Y-Wert
> und [mm]\bruch{1}{4}[/mm] der X-Wert ist. Oder sehe ich das falsch?
>
> Ansonsten ist dein Weg nachvollziehbar...
Hi,
ich hab' das auch noch mal durchgerechnet und bin auch als $x$-Wert auf [mm] $\bruch{1}{2b}$ [/mm] und nicht auf [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] gekommen. Da ist also ein Fehler in der Aufgabe, der $y$-Wert des Extremums ist auch ein anderer.
Grüße, Stefan.
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