Extrema bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Di 20.09.2016 | | Autor: | unifan12 |
| Aufgabe | Finden Sie die Nullstellen sowie die lokale und globale Extrema von
f(x)= [mm] (x^{2}-4)*ln(x^{2}+1) [/mm] |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo ihr Lieben,
bei der Bestimmung der Nullstellen habe ich keine Probleme, sondern bei der Berechnung der Extrema.
Wenn ich die oben genannte Funktion ableite, erhalte ich:
f'(x) = 2x [mm] ln(x^{2}+1) [/mm] + [mm] (x^{2}-4) \bruch{2x}{x^{2}+1}
[/mm]
ausklammern von 2x führt zu:
f'(x) = 2x [mm] (ln(x^{2}+1)+\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+1})
[/mm]
Nun benötige ich die erste Ableitung, die ich gleich null setzen muss, um mögliche Extrema zu bestimmen.
2x [mm] (ln(x^{2}+1)+\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+1}) [/mm] = 0
Daraus folgt, dass x=0 die erste Nullstelle der 1. Ableitung. Nun schaue ich mir den 2. Faktor an.
[mm] ln(x^{2}+1)+\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+1} [/mm] = 0
Bringe nun 1. und 2. Summand auf ein Nenner.
[mm] \bruch{(x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)+x^{2}-4}{x^{2}+1} [/mm] = 0
Nun multiplizieren ich die Gleichung mit [mm] x^{2}+1, [/mm] sodass man nur noch das stehen hat:
[mm] (x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)+x^{2}-4 [/mm] = 0
Nun weiß ich leider nicht weiter. Würde mich über jeden Tip und jede Hilfe freuen.
Anmerkung: will keine Lösungen, ich will das wirklich verstehen. ;)
Ich bedanke mich im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Di 20.09.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Finden Sie die Nullstellen sowie die lokale und globale
> Extrema von
> f(x)= [mm](x^{2}-4)*ln(x^{2}+1)[/mm]
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
> Hallo ihr Lieben,
>
> bei der Bestimmung der Nullstellen habe ich keine Probleme,
> sondern bei der Berechnung der Extrema.
>
> Wenn ich die oben genannte Funktion ableite, erhalte ich:
> f'(x) = 2x [mm]ln(x^{2}+1)[/mm] + [mm](x^{2}-4) \bruch{2x}{x^{2}+1}[/mm]
Das sieht gut aus.
>
> ausklammern von 2x führt zu:
> f'(x) = 2x [mm](ln(x^{2}+1)+\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+1})[/mm]
Schön.
>
> Nun benötige ich die erste Ableitung, die ich gleich null
> setzen muss, um mögliche Extrema zu bestimmen.
> 2x [mm](ln(x^{2}+1)+\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+1})[/mm] = 0
>
> Daraus folgt, dass x=0 die erste Nullstelle der 1.
> Ableitung.
Und das wird dann ein Hochpunkt.
> Nun schaue ich mir den 2. Faktor an.
>
> [mm]ln(x^{2}+1)+\bruch{x^{2}-4}{x^{2}+1}[/mm] = 0
> Bringe nun 1. und 2. Summand auf ein Nenner.
>
> [mm]\bruch{(x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)+x^{2}-4}{x^{2}+1}[/mm] = 0
>
> Nun multiplizieren ich die Gleichung mit [mm]x^{2}+1,[/mm] sodass
> man nur noch das stehen hat:
> [mm](x^{2}+1)*ln(x^{2}+1)+x^{2}-4[/mm] = 0
Für den zweiten Faktor gibt es keine analytische Lösung, diesen musst du mit einem Näherungsverfahren Nullsetzen. Tust du das, bekommst du die beiden Werte [mm] x\approx\pm1,25356
[/mm]
Diese gehören dann je zu einem Tiefpunkt mit der y-Koordinate [mm] y\approx-2,3
[/mm]
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> Nun weiß ich leider nicht weiter. Würde mich über jeden
> Tip und jede Hilfe freuen.
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> Anmerkung: will keine Lösungen, ich will das wirklich
> verstehen. ;)
>
> Ich bedanke mich im Voraus.
Marius
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