Extrema unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Di 17.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Bestimme alle Extrema der Funktion
[mm] f(x,y)=(x+y+a)^2+(x-y+b)^2 a,b\in [/mm] R
unter der Nebenbedingung x+y=1
Von welcher Art sind die Extrema? |
Ich habe das Beispiel mit der Lagrangen Multiplikation versucht, also
[mm] f(x,y,\lambda)=(x+y+a)^2+(x-y+b)^2+\lambda(x+y-1)
[/mm]
dies führt auf die stat. Punkte [mm] y=\bruch{1+b}{2} [/mm] und [mm] x=\bruch{1-b}{2}
[/mm]
die Hessematrix der Funktion f(x,y) ist jedoch
[mm] \vmat{ 4 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
die Determinante also 0 (semidefinit). Dann kann ich für die Funktion keine Aussage über die Extrema treffen... wie kommt man trotzdem zu einer Lösung?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Di 17.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimme alle Extrema der Funktion
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> [mm]f(x,y)=(x+y+a)^2+(x-y+b)^2 a,b\in[/mm] R
>
> unter der Nebenbedingung x+y=1
Kannst du nicht die NB umformen zu y=1-x und in der Funktion y damit ersetzen?
Dann gilt [mm] f(x,y)=f(x)=(1+a)^2+(2x-1+b)^2 [/mm] ,
und deren lokale Extremstellen kannst du klassisch mit der 1. Ableitung finden.
Gruß Abakus
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> Von welcher Art sind die Extrema?
> Ich habe das Beispiel mit der Lagrangen Multiplikation
> versucht, also
>
> [mm]f(x,y,\lambda)=(x+y+a)^2+(x-y+b)^2+\lambda(x+y-1)[/mm]
>
> dies führt auf die stat. Punkte [mm]y=\bruch{1+b}{2}[/mm] und
> [mm]x=\bruch{1-b}{2}[/mm]
>
> die Hessematrix der Funktion f(x,y) ist jedoch
>
>
> [mm]\vmat{ 4 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> die Determinante also 0 (semidefinit). Dann kann ich für
> die Funktion keine Aussage über die Extrema treffen... wie
> kommt man trotzdem zu einer Lösung?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 17.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
das wäre auch meine Idee gewesen, aber das Bsp entstammt dem Kapitel "Lagrangescher Multiplikator"...
Nur wie gesagt kann ich dem ergebnis nicht so recht etwas abgewinnen :)
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> das wäre auch meine Idee gewesen, aber das Bsp entstammt
> dem Kapitel "Lagrangescher Multiplikator"...
Hallo,
wenn Du mit der Lagrangefunktion arbeitest, mußt Du nicht die Hessematrix, sondern die Determinante der geränderten Hessematrix
[mm] \pmat{ 0 & g_x&g_y \\ g_x & f_x_x&f_x_y \\g_y & f_y_x&f_y_y }
[/mm]
verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mi 18.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
sieht die Hessematrix dann so aus:
[mm] \pmat{ 0 & \lambda &-\lambda \\ \lambda & 4& 0 \\ \-\lambda & 0 &0 }
[/mm]
dann wäre die Det -4 [mm] \lambda^2
[/mm]
da [mm] \lambda [/mm] immer positiv ist ist diese Determinante also immer negativ.
wie hilft mir das bei der Aufgabenstellung weiter? :)
lg
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> sieht die Hessematrix dann so aus:
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> [mm]\pmat{ 0 & \lambda &-\lambda \\ \lambda & 4& 0 \\ \-\lambda & 0 &0 }[/mm]
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> dann wäre die Det -4 [mm]\lambda^2[/mm]
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> da [mm]\lambda[/mm] immer positiv ist ist diese Determinante also
> immer negativ.
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> wie hilft mir das bei der Aufgabenstellung weiter? :)
>
> lg
Hallo,
ich hatte aufgrund v. Eile das nicht so genau geschrieben: die Funktion g ist die, die aus der Nebenbedingung kommt, in Deinem Fall also g(x,y)=x+y-1
Also lautet die geränderte Hessematrix
[mm] \overline{H}(x,y)=\pmat{ 0 & 1 &1 \\ 1 & 4& 0 \\ 11 & 0 &0 },
[/mm]
und es ist ihre Determinante am kritischen Punkt (und auch sonst) -4 ==> Minimum am kritischen Punkt.
[mm] (Det\overline{H} [/mm] >0 ==> Max.)
Gruß v. Angela
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