Extrempunkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 17.05.2005 | | Autor: | Coli |
hey ihr, ich weiß nicht wie ich diese aufgaben lösen kann... wir sollen angeben ob diese aussagen wahr oder falsch sind und auch begründen
1. wenn eine ganzrationale Funktion 3. Grades nur eine Nullstelle hat, dann hat sie keinen Extrempunkt
2.wenn eine ganzrationale Funktion 3. Grades 3 Nullstellen besitzt, dann hat sie zwei Extrempunkte
3. wenn f'(x0) = 0 gilt, dann ist x0 eine Extremstelle
4. wenn x0 eine Extremstelle ist, dann gilt f' (xo)=0
Wenn mir jemand helfen könnte wärs echt voll cool
danke schonmal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Coletta! (interessanter Name  )
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hast du dir schon mal unsere Forenregeln durchgelesen? Da steht nämlich was von eigenen Ansätzen... Hast du überhaupt keine Ideen zu einer der Aufgaben?
> 1. wenn eine ganzrationale Funktion 3. Grades nur eine
> Nullstelle hat, dann hat sie keinen Extrempunkt
Ich dachte zuerst, diese Aussage wäre wahr, aber das ist Blödsinn! Du kannst hier z. B. die Funktion [mm] f(x)=x^3+x^2+1 [/mm] nehmen, die hat sowohl einen Hoch- als auch einen Tiefpunkt. 
Im Prinzip müsstest du hier aber (fast) jede ganzrationale Funktion 3. Grades nehmen können, bei der außer der 3. Potenz auch noch eine andere Potenz vorkommt (also [mm] x^3+1 [/mm] würde nicht reichen).
Und mit einem Gegenbeispiel hast du die Aussage widerlegt, was als Begründung reicht.
> 2.wenn eine ganzrationale Funktion 3. Grades 3 Nullstellen
> besitzt, dann hat sie zwei Extrempunkte
Diese Aussage müsste wohl stimmen (die Umkehrung allerdings nicht...). Ich weiß nicht, wie man das mathematisch begründen kann, aber evtl. reicht es auch mit Worten. Stell dir solch eine Funktion mit drei Nullstellen mal vor. Die Funktion kommt ja bei einer Nullstelle entweder von unterhalb der x-Achse und geht dann oberhalb weiter oder umgekehrt. Im ersten Fall muss sie dann ja irgendwo wieder runter gehen, damit sie die x-Achse noch einmal (für die zweite Nullstelle) schneiden kann, und danach muss sie dann auch wieder irgendwann hochgehen, für die 3. Nullstelle. Und wenn sie ihr Verhalten von steigend zu fallend ändert, ist das genau das, was man mit Extremum bezeichnet.
Alles klar?
> 3. wenn f'(x0) = 0 gilt, dann ist x0 eine Extremstelle
Diese Aussage ist falsch. Man betrachte dafür die Funktion [mm] f(x)=x^3, [/mm] hier ist [mm] f'(x)=3x^2, [/mm] diese ist an der Stelle 0 =0 (also. f'(0)=0), da aber die zweite Ableitung (f''(x)=6x) an dieser Stelle auch =0 ist, und die dritte Ableitung [mm] \not= [/mm] 0, so liegt kein Extremum, sondern ein Wendepunkt vor.
> 4. wenn x0 eine Extremstelle ist, dann gilt f' (xo)=0
Dies wiederum ist richtig! Wahrscheinlich weißt du, dass die Ableitung die Steigung einer Funktion angibt. Betrachte nun eine Funktion an ihrer Extremstelle - wie ist an dieser Stelle die Steigung? Genau, sie ist =0 und damit muss auch die Ableitung an dieser Stelle =0 sein.
Anders weiß ich das im Moment nicht zu erklären...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Di 17.05.2005 | | Autor: | Coli |
Hey Christiane,
ich möchte mich ganz doll für deine schnelle Antwort bedanken : ) ich habe wirklich verzweifelt an diesen aufgaben gesessen und kam einfach auf keinen vernünftigen gedanken... durch deine Erklärungen konnte ich mich gut in die aufgaben hineinversetzen und glaube, dass ich es wirklich verstanden habe!
Nochmal vielen Dank
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