Extremwert:Vom Kreis zum Kegel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius s. Rollt man einen Kreissektor zusammen, entsteht ein Kegel. Bei welchem Mittelpunktswinkel Alpha des Sektors entsteht ein Kegel mit maximalen Volumen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also:
Als erstes schreibe ich mal auf, was ich alles schon habe und ausprobiert habe. Radius s des Kreises ist gleich die Mantellänge
Extremalbedingung: V=1/3*r²*h
Dabei ist r der Radius des Kegels
Nebenbedingung: Hier habe ich die Formel für die Fläche eines Kreissektors mit der Flächenformel eines Kegels gleichgesetzt:
Pi*r*s=Pi/360*Alpha*s²
Dann hab ich nach r umgestellt
damit ich h auch aus der Extremalbedingung wegbekomme hab ich als zweite Nebenbedingung den satz des Pythagoras im Kegel angewendet:
h²=s²-r²
Das hab ich dann in die Extremalbedingung eingesetzt, doch dann konnte ich die Ableitungsfunktion nicht aufstellen. Dabei habe ich V vin Alpha abhängig gemacht, da ich es ja nicht von s abhängig machen kann (s ist allg. gegeben)
Dann habe ich versucht mit einem Winkelsatz h wegzubekommen, mit cosAlpha. das hat bei der Ableitungsfunktion auch nicht funktioniert.
Und an diesem Punkt komme ich einfach nicht weiter.
Kann mir jemand den weiteren Lösungsweg zeigen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pinkepunky!
Du bist doch auf einem guten Weg...
Aus der einen Gleichung erhältst Du: $r \ = \ [mm] \bruch{\alpha*s}{360°}$ $\Rightarrow$ $r^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\alpha^2*s^2}{360^2}$
[/mm]
Und mit dem Pythagoras wird: [mm] $h^2 [/mm] \ = \ [mm] s^2-r^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $h \ = \ [mm] \wurzel{s^2-r^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{s^2-\bruch{\alpha^2*s^2}{360^2}} [/mm] \ = \ [mm] s*\wurzel{1-\bruch{\alpha^2}{360^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{s}{360°}*\wurzel{360^2-\alpha^2}$
[/mm]
Und dies nun einsetzen in die Volumensformel: [mm] $V(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^2*h [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
PS: ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ... Hm, da gibt es bestimmt noch eine etwas elegantere Variante ...
|
|
|
| |
|
Ja, so ähnlich hatte ichs irgenwie auch. Nur noch nicht ganz so "ausgewurzelt" :)
Aber wie bilde ich davon jetzt die Ableitung?
Kennst du den eleganteren Lösungsweg? Bestimmt kennst du den...
Bitte gib mir einen Tip...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mi 04.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. würd ich als Unbekannte [mm] x=\alpha/360 [/mm] bzw im Bogenmaß [mm] \alpha/2\pi [/mm] nehmen, das macht einfachere Formeln.
2. wenn eine positive Funktion ein Maximum an einer Stelle hat, dann auch ihr Quadrat an derselben Stelle.
Deshalb such das max von [mm] V^2, [/mm] das ist viel einfacher, obwohl erstmal [mm] x^6 [/mm] vorkommt.
Dieser Trick ist bei maxima suchen oft nützlich, (er hilft nicht, wenn man Kurven diskutierren will)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich würd das gerne machen, aber wir rechnen gerade mit der Kurvendiskussion.
Das ist kein Grund, aber meine Mathelehrerin ist der Grund. Die meckert jeden an, der einen anderen Lösungsweg hat. Warum auch immer...
Wie bildet man denn die Ableitung von Wurzel aus (360²-Alpha²), wenn Alpha die unbekannte ist?
Funktioniert das überhaupt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 04.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Man sollte sich von LehrerInnen nicht einschüchtern lassen. Hier geht es ja nicht um ne Kurvendiskussion, sondern um das Bestimmen eines Maximums. und Mathe ist die Kunst unnötig langes Rechnen zu vermeiden! Wenn es dir selbst klar ist, warum man statt des max von V das von [mm] V^2 [/mm] suchen kann solltest du das auch tun!
dann aber doch wie leitet man das ab:
[mm] \wurzel{360^2-\alpha^2}=(360^2-\alpha^2)^{1/2} [/mm] nach Kettenregel abgeleitet:
[mm] (360^2-\alpha^2)^{1/2})'=1/2*(360^2-\alpha^2)^{1/2})^{-1/2}*(-2\alpha)
[/mm]
Wenn du das [mm] \alpha^2 [/mm] was noch vor der Wurzel steht nter die Wurzel ziehst hast [mm] du:(360^2*\alpha^4-\alpha^6)^{1/2})'
[/mm]
[mm] =(360^2*\alpha^4-\alpha^6)^{-1/2})*(4*360^2*\alpha^3-6*\alpha^5)
[/mm]
und nur auf die letzte Klammer kommts fürs max. an und das ist grad die Ableitung des Quadrats der Funktion. Nur hast du hier jetzt noch ne Wurzel im Nenner!
Statt das [mm] \alpha^2 [/mm] unter die Wurzel zu schreiben kannst du natürlich auch die Produktregel nehmen, aber das wird viel länger.
Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Pinkepunky |
Danke, ich versuchs mal mit beiden Wegen.
Damit, dass man sich nicht einschüchtern lassen soll, hast du ja recht, aber ich hab schon zu oft gekontert und musste dann feststellen, dass sie am längeren Hebel sitzt.
Naja, danke nochmal.
|
|
|
|
