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| Aufgabe | Einem Halbkreis mit dem Radius 30cm soll ein gleichschenkliges Dreieck einbeschrieben werden, dessen Spitze mit dem Halbierungspunkt des Durchmessers zusammenfällt.
Welche maße muss das Dreieck haben, damit seine Fläche max groß ist? |
Komme mit der Aufgabe gernet klar.muss ich evtl für die Nb den Pythagoras nehmen?!
Dabke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Hast Du Dir mal eine Skizze gemacht? Und die Idee mit dem Pythagoras ist auch sehr gut ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Der Flächeninhalt eines Dreieckes errechnet sich zu: [mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g$
[/mm]
Wenn wir den Mittelpunkt des Halbkreises in einem Korrdinatensystem genau in den Ursprung legen, gilt für die Grundseite (mit $x_$ als gesuchter Funktionswert) : $g \ = \ 2x$
Die zugehörige Höhe [mm] $h_g$ [/mm] ermitteln wie nun also mit dem Satz des Pythagoras:
[mm] $x^2+h_g^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2$ $\Rightarrow$ $h_g [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{r^2-x^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{30^2-x^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{900-x^2}$
[/mm]
Einsetzen in die Flächenformel liefert nun unsere Zielfunktion:
$A(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*2x*\wurzel{900-x^2} [/mm] \ = \ [mm] x*\wurzel{900-x^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{900x^2-x^4}$
[/mm]
Mit dieser Funktion $A(x)_$ musst Du nun eine Extremwertberechnung (Nullstelle der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
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