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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Mi 30.05.2007 | | Autor: | verena |
| Aufgabe | | Welches Prisma mit regelmäßiger dreiseitiger Grundfläche hat bei gegebenen Rauminhalt V die kleinste Oberfläche? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir einer helfen bei der Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mi 30.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich nehme mal an, dass das Grundflächendreieck gleichseitig ist, mit der Seitenlänge a. Und ich nenne die Höhe des Zylinders mal h.
Dann gilt für die Grundfläche: [mm] G=\bruch{1}{2}*a*h_{a}
[/mm]
[mm] (h_{a}=\wurzel{a²-(\bruch{1}{2}a²)}=\wurzel{\bruch{3}{4}a²}=\bruch{1}{2}a\wurzel{3}) [/mm] Nach Pythagoras
Also:
[mm] G=\bruch{1}{2}*a*\bruch{1}{2}a\wurzel{3}=\bruch{\wurzel{3}}{4}a²
[/mm]
Damit gilt für das Volumen des Körpers:
[mm] V=G*h=\bruch{\wurzel{3}}{4}a²*h
[/mm]
Für die Oberfläche gilt nun:
O(a,h)=2*G+M
Die Mantelfläche besteht ja aus drei Rechtecjen mit den Seitenlängen a und h, also: M=3ah
Also: [mm] O(a,h)=2*\bruch{\wurzel{3}}{4}a²+3ah=\bruch{\wurzel{3}}{8}a²+3ah
[/mm]
Jetzt forme die Volumenformel mal nach h um.
[mm] V=\bruch{\wurzel{3}}{4}a²*h
[/mm]
[mm] \gdw h=\bruch{4V}{\wurzel{3}a²}
[/mm]
Das jetzt mal in O eingesetz ergibt:
[mm] O(a)=\bruch{\wurzel{3}}{8}a²+3a*\bruch{4V}{\wurzel{3}a²}=\bruch{\wurzel{3}}{8}a²+\bruch{12aV}{\wurzel{3}a²}=\bruch{\wurzel{3}}{8}a²+\bruch{12V}{\wurzel{3}a}
[/mm]
Und von dieser Funktion [mm] O(a)=\bruch{\wurzel{3}}{8}a²+\bruch{12V}{\wurzel{3}a} [/mm] suchst du jetzt den Tiefpunkt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mi 30.05.2007 | | Autor: | verena |
Danke für deine schnelle Antwort, werde es gleich versuchen. Grüße Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Heidrun |
| Aufgabe | Ich habe die Hauptbedingung: Omin = 2 G + M, G= a² [mm] \wurzel{3} [/mm] /4, M = a*h, O = 2 a² [mm] \wurzel{3} [/mm] / 4 + a*h
Nebenbedingung: V = G*h, V= a² [mm] \wurzel{3} [/mm] / 4 *h, 4 V/ a² [mm] \wurzel{3} [/mm] |
Kann ich mit diesen Bedingung auch weiterkommen? Deine Lösung war mir zu schwierig. Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mi 30.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist im Prinzip doch genau meine Lösung, aber deine Mantelfläche ist falsch. Du hast Drei Rechtecke, also
M=3ah
Damit kommst du dann auf meine Formel:
$ [mm] O(a)=\bruch{\wurzel{3}}{8}a²+\bruch{12V}{\wurzel{3}a} [/mm] $
[mm] =\bruch{\wurzel{3}}{8}a²+\bruch{12V}{\wurzel{3}}a^{-1}
[/mm]
Und damit:
[mm] O'(a)=\bruch{\wurzel{3}}{4}a-\bruch{12V}{\wurzel{3}}a^{-2}
[/mm]
und [mm] O''(a)=\bruch{\wurzel{3}}{4}+\bruch{24V}{\wurzel{3}}a^{-3}
[/mm]
Also:
O'(a)=0
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{4}a=\bruch{12V}{\wurzel{3}a²} [/mm] |*a²
[mm] \gdw\bruch{\wurzel{3}}{4}a³=\bruch{12V}{\wurzel{3}} [/mm]
[mm] \gdw a³=\bruch{12V}{\wurzel{3}}*\bruch{4}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \gdw a³=\bruch{48V}{3}
[/mm]
[mm] \gdw a=\wurzel[3]{\bruch{48V}{3}}
[/mm]
Und
[mm] O''(\bruch{48V}{3})>0, [/mm] also ist es ein Minimum.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Heidrun |
Super danke für die Antwort, muss besser aufpassen. LG Heidrun
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