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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 20.01.2013 | | Autor: | Spike156 |
| Aufgabe | 1) Ein mit Diesesl betriebens landwirtschaftliches Kombifahrzeug, dessen Kraftstoffkosten (bezogen auf €/h) durch die Funktion Kst:Kst(v) = 0,00002 v³ +6 beschrieben werden, muss zur Auslieferung von Getreide eine 120 km lange Strecke zurücklegen. Die Höchstgeschwindigkeit des Kombis beträgt 80km/h.
Beantworten Sie die folgenden Fragen und bereiten Sie sich vor, dass Sie die Aufgabe an der Tafel vorrechnen.
a) mit welcher Geschwindigkeit fährt das Kombifahrzeug am kostengüstigen?
b) Wie hoch sind die Spritkosten für die 120km lange Strecke? |
Moin,
wir haben zum Thema extremwertprobleme die oben stehende Aufgabe bekommen und ich hab ein paar probleme damit....
man geht ja bei so welchen aufgaben folgender maßen vor:
1) Festlegen der Hauptbedingung
2) Festlegen Definitionsbereiche der Variablen
3) Nebenbedingung ermitteln
3) nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen---> Zielfunktion
4) Extremwerte der Zielfunktion ermitteln
5) Prüfen ob die Variablen in der festgelegten Definitionsbereichen liegen
6) prüfen auf Randextrema
7) Antwort
Ich komme irgendwie nicht auf den richtigen Sinn der Aufgabe bzw: ok man weiß
Kraftstoffkosten: Kst:Kst(v)=0,00002 v³ +6
Strecke : 120 km
Max Geschw.: 80 km/h
was für einen bezug hat das denn jetzt auf aufgabe A wo man sagen muss wie das Auto am Kostengünstigsten fährt ? ich rall das irgendwie nicht mal ganz zu schweigen von aufgabe B... wofür ist eigentlich das Kst ?
würde mich über hilfe sehr freuen !!!
glg
Spike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 20.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Kst(v) sind die Kosten [in €], die das Fahrzeug verursacht, wenn es eine Stunde lang mit der Geschwindigkeit v [km/h] fährt. Im Leerlauf verbraucht es also Diesel für 6€ pro Stunde, wenn es fährt, steigen diese Kosten mit zunehmender Geschwindigkeit. In zwei Stunden verursacht das Fahrzeug die doppelten Kosten, in drei Stunden die dreifachen, ...
In der Zeit t [h] entstehen demnach Kosten von ...
Das ist deine Hauptbedingung.
Die Nebenbedingung ergibt sich aus einem bekannten Zusammenhang zwischen Strecke, Zeit und Geschwindigkeit bei gleichförmiger Bewegung (die wir hier voraussetzen).
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 20.01.2013 | | Autor: | Spike156 |
wie kommst du denn darauf das das auto im leerlauf 6€ verbraucht ? ist das wegen der +6 am ende ?
ok also ist meine Hauptbedingung ein lineares wachstum: [mm] a*b^t [/mm] ... oder ?
heißt das meine Hauptbedingung ist
[mm] 6*(0,00002*v³)^t [/mm] <----- (für t setze ich dann die stunden ein ??) ist das richtig ?
ist die nebenbedingung dann das lineare wachstum ????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 20.01.2013 | | Autor: | Spike156 |
kann es sein das für aufgabe B) 0,00002*80³+6= 16,24+8,12 (die hälfte für die 120km)= 24,36€ raus kommt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du machst einen Fehler, der wohl auch verhindert, dass du a) rechnen kannst.
richtig sollte da stehen Kosten pro [mm] Zeit=0.0002*v^3+6
[/mm]
d.h. wenn er 80km/h fährt braucht er 1,5h also wären die Gesamzkosten G=K(80)*1,5
was du also möglichst klein kriegen willst ist G=K*t
und die nebenbedingung ist die Strecke 120km oder besser die Zeit die man dafür braucht. kannst du t aus v und 120km/h ausrechnen?
Zur Kontrolle das richtige Ergebnis liegt zwischen 50 und 55km/h
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Spike156 |
Hallo Leduart,
ok also ich habe schon rausbekommen das kst(v) gibt mir die kosten pro stunde angibt, wenn das fahrzeug mit der geschwindigkeit v unterwegs ist... man muss also noch sagen wie lange das fahrzeug unterwegs ist bei bestimmter geschwindigkeit v... dann ergibt gerade
kst(v)*t
den endpreis fuer die strecke (wobei t gerade die zeitspanne ist, die das fahrzeug für die 120km braucht). und weil
[mm] v=\bruch{120}{t}
[/mm]
[mm] t=\bruch{120}{v}
[/mm]
kann man auch schreiben
[mm] kst(v)⋅\bruch{120}{v}
[/mm]
[mm] (0,00002v3+6)⋅\bruch{120}{v}
[/mm]
und das ist jetzt eine funktion, die mir glaube ich den endpreis in abhaengigkeit von v angibt... und diese Funktion möchte ich gerne minimieren - geht das so auch ? Bzw muss ich jetzt die 1. ableitung machen diese gleich 0 setzen und den für v ausgerechneten wert so fern er unter 80 liegt in die 2. ableitung setzen und weiß dann ob das ein minimum ist oder ? kannst du mir dabei vllt helfen das bekomme ich einfach nicht hin oder allgemein schaff ich die aufgabe einfach nicht weiter....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig!
also deine Hauptbed ist also G=K*t maximieren, deine Nebenbed, 120km=v*t
und ableiten kannst du doch jetzt dein G(v) nach v.
hast du die anderen verlangten Punkte Def, Bereich? Randwerte?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Spike156 |
ich steh gerade megamässig auf dem schlauch ich verstehe nicht wie ich
[mm] (0,00002*v³+6)*\bruch{120}{v} [/mm] bzw [mm] 0,00002*v³*\bruch{120}{v}+6*\bruch{120}{v}nach [/mm] v ableiten soll oder deine funktion und dann das was ich gerne machen möchte mit dem überprüfen machen kann.
ne den rest habe ich noch nicht und um ehrlich zu sein weiß ich gar nicht was mein lehrer damit meint bei der aufgabe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] G(v)=(0.00002*v^3+6)*120(v
[/mm]
[mm] G(v)=0.0024*v^2+720*v^{-1}
[/mm]
hast du richtig, und [mm] v^2 [/mm] und 1/v kannst du doch sicher ableiten? sonst geh erst mal schlafen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:28 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Spike156 |
dann ist die ableitung:
G'(v)= 0,0048*v - 720 *v^-2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Spike156 |
ok gut und jetzt löse ich nach v auf
[mm] G'(v)=0.0048*v-720*v^{-2}
[/mm]
[mm] 0=0.0048*v-720*v^{-2} [/mm] | /v
[mm] v=0.0048-720*v^{-2} [/mm] <---- kannst du mir sagen wie sich der hintere teil dann verändert? also mit dem [mm] v^{-2} [/mm] /v ?
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Hallo Spike,
> ok gut und jetzt löse ich nach v auf
>
> [mm]G'(v)=0.0048*v-720*v^{-2}[/mm]
>
> [mm]0=0.0048*v-720*v^{-2}[/mm] | /v
>
> [mm]v=0.0048-720*v^{-2}[/mm] <---- kannst du mir sagen wie sich der
> hintere teil dann verändert? also mit dem [mm]v^{-2}[/mm] /v ?
Ja, du teilst ja die gesamte Gleichung durch v, also
[mm]\frac{0}{v}=\frac{0,0048v-720v^{-2}}{v}[/mm]
Also [mm]\red{0}=\frac{0,0048v}{v}-\frac{720v}{v}[/mm]
Daher [mm]0=0,0048-720v^{-3}[/mm]
Vllt. ist es einfacher zu rechnen, wenn du in der Gleichung [mm]G'(v)=0[/mm] nicht durch v teilst, sondern mit [mm]v^2[/mm] multiplizierst ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mo 21.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch siehe meinen anderen post.
Gruss leduart
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